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1、数学分析教案 第七章 实数的完备性 实数完备性的等价命题一、问题提出确界存在定理(定理1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的还有五大命题，这就是以下的定理1.2至定理1.6定理1.2(单调有界定理)任何单调有界数列必定收敛定理1.3(区间套定理）设为一区间套：则存在唯一一点定理1.4(有限覆盖定理)设是闭区间的一个无限开覆盖，即中每一点都含于中至少一个开区间内则在中必存在有限个开区间，它们构成的一个有限开覆盖定理1.5 (聚点定理)直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点，即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于，也可以不属于）定理1.6 (柯西准则)数列收敛的充要条件
2、是：，只要 恒有（后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列）这些定理构成极限理论的基础我们不仅要正确理解这六大定理的含义，更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题下面通过证明它们之间的等价性，使大家熟悉使用这些理论工具下图中有三种不同的箭头，其含义如下：(1)(3)基本要求类：(4)(7)阅读参考类：(8)(10)习题作业类下面来完成(1)(7)的证明二、等价命题证明(一) 用确界定理证明单调有界定理.(二) 用单调有界定理证明区间套定理设区间套若另有使，则因推论 设为一区间套，则当时，恒有用区间套定理证明其他命题时，最后常会用到这个推论(三) 用区间套定理
3、证明确界原理证明思想 构造一个区间套，使其公共点即为数集的上确界设, 有上界取；，再令如此无限进行下去，得一区间套可证：因恒为的上界，且，故，必有，这说明是的上界；又因，故，而都不是的上界，因此更不是的上界所以成立*(四) 用区间套定理证明有限覆盖定理设为闭区间的一个无限开覆盖反证法假设：“不能用中有限个开区间来覆盖”对采用逐次二等分法构造区间套，的选择法则：取“不能用中有限个开区间来覆盖”的那一半由区间套定理，导出矛盾：使.记由推论，当足够大时， 这表示用中一个开区间就能覆盖，与其选择法则相违背所以必能用中有限个开区间来覆盖.说明 当改为时，或者不是开覆盖时，有限覆盖定理的结论 不一定成立.
4、例如：1)是开区间的一个无限开覆盖，但不能由此产生的有限覆盖2)是的一个无限覆盖，但不是开覆盖，由此也无法产生的有限覆盖*(五) 用有限覆盖定理证明聚点定理设为实轴上的有界无限点集，并设 由反证法假设来构造的一个无限开覆盖：若有聚点，则现反设中任一点都不是的聚点，即在内至多只有这样，就是的一个无限开覆盖 用有限覆盖定理导出矛盾：据定理9，存在为的一个有限开覆盖（同时也覆盖了）由假设，内至多只有所属个邻域内至多只有属于（即只覆盖了中有限个点）这与覆盖了全部中无限多个点相矛盾所以，有界无限点集必定至少有一个聚点推论（致密性定理） 有界数列必有收敛子列即若为有界数列，则使有子列的极限称为原数列的一个
5、极限点，或称聚点.数列的聚点与一般点集的聚点，含义稍有不同数列的聚点定义为：“，在内含有中无限多个项，则为的一个聚点”在此意义下，对于数列 它有两个收敛子列:和，它们的极限和就是的两个聚点*(六) 用聚点定理证明柯西准则柯西准则的必要性容易由数列收敛的定义直接证得.（已知收敛，设由定义，当时，有从而有）这里只证其充分性已知条件：当时欲证收敛首先证有界对于当时，有令，则有由致密性定理，存在收敛子列，设最后证，由条件，当时，有于是当（同时有）时，就有*(七) 用柯西准则证明单调有界原理设 为一递增且有上界M的数列用反证法（ 借助柯西准则 ）可以证明：倘若无极限，则可找到一个子列以为广义极限，从而与
6、有上界相矛盾现在来构造这样的对于单调数列，柯西条件可改述为：“ 当 时，满足 ”这是因为它同时保证了对一切，恒有倘若不收敛，由上述柯西条件的否定陈述：，对一切，使依次取把它们相加,得到故当时，可使，矛盾所以单调有界数列必定有极限 证毕 在以上六个等价命题中，最便于推广至中点集的，当属聚点定理与有限覆盖定理为加深对聚点概念的认识，下例所讨论的问题是很有意义的例 证明“是点集的聚点”的以下三个定义互相等价：(i) 内含有中无限多个点(原始定义)；(ii) 在内含有中至少一个点；(iii) ，时，使证 (i)(ii)显然成立(ii)(iii)由(ii），取，；再取；一般取；由的取法，保证，(iii)(i)时，必有，且因各项互不相同，故内含有中无限多个点1
