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1、第三章 直线与方程教材分析在平面几何和立体几何里，我们直接依据几何图形中点、直线、平面的关系研究几何图形的性质 现在采用另外一种研究方法：坐标法 坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法 它是解析几何中最基本的研究方法 解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的 解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期 解析几何由此成为近代数学的基础之一 一、内容与课程学习目标本章我们在直角坐标系中，建立直线的方程，并通过方程研究直线的有关性质，如平行、垂直、两条直线的交点、点到直线的距离等 通过本章学习，学生应当达到的学习
2、目标是：1在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素 2理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式 3能根据斜率判定两条直线平行或垂直 4根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系 5能用解方程组的方法求两直线的交点坐标 6会用两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离二、内容安排本章共分三节，大约需要9课时 具体课时分配如下（仅供参考）：31 直线的倾斜角与斜率 约2课时32 直线的方程 约3课时33 直线的交点坐标与距离公式 约3课时
3、小结 约1课时1“直线的倾斜角与斜率”首先探索平面直角坐标系中确定直线位置的几何要素点和倾斜角 给出斜率的概念，并用代数方法表示它，导出用两点坐标表示斜率的公式，并根据直线的斜率判断两条直线平行与垂直 2“直线的方程”首先在直角坐标系中建立直线的方程，然后介绍直线方程的点斜式、两点式、一般式，最后得出结论：在平面直角坐标系中，一切直线的方程都是二元一次方程，二元一次方程表示直线 3“直线的交点坐标与距离公式”通过直线的方程研究两条直线的交点，并由此判断两条直线的位置关系：相交、平行及重合 通过点的坐标和直线的方程，导出两点间的距离、点到直线的距离以及两平行线间的距离 4“探究与发现魔术师的地毯
4、”是一个非常有趣的素材，主要是让学生运用直线斜率的知识，看两条直线是否共线，进而探究001m2的地毯到什么地方去了？三、几个问题1贯穿“坐标法”的思想，突出解析几何解决问题的“三部曲”本章注意突出解析几何的基本思想“坐标法”：用方程表示直线，运用方程研究直线的位置关系：平行、垂直，以及两条直线的交点、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离 几何问题代数化，用数量关系表示空间形式、位置关系等等 结合大量的例题，突出用坐标方法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题：第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把
5、代数运算结果“翻译”成几何结论 2从一个或几个数学问题展开知识内容问题是数学的心脏 引入知识内容时，常设置一个或几个问题，创设一种情境，一方面引起学生的兴趣，另一方面引起学生解决问题的求知欲望 比如“3. 1.1倾斜角与斜率”，提出了几个思考题：思考：对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置关系由那些条件确定呢？思考：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？3关注结论形成的过程，通过思考、探究，得出结论本章在编写时注意呈现方式，不直接给出结论，让学生证明 而是把结论放在学生经过一系列数学活动之后，通过思考、探究，得出结论 比如，用“坐标法”解决问题的“三部曲”就是通过解决一系列问题后得出 在例
6、题的呈现时，增加了分析的过程，重点分析解题的思路 4充分利用教科书边空，提出具有一定思考价值的问题，强调重要的数学思想方法利用教科书边空不失时机地提出一些具有一定思考价值的问题，例如，“3. 2.1直线的点斜式方程”中的边空“截距是距离吗？”“3. 2.3 直线的一般式方程”中边空“分类讨论时，常按90和90分类，这样可以做到不重不漏 ”等等 四、对教学的几个建议1注意把握教学要求教学中，注意控制教学的难度，避免进行综合性强、难度较大的数学题的训练，避免在解题技巧上做文章 比如，义务教育阶段“空间与图形”部分涉及的许多结论都可以用坐标法来加以证明，而义务教育阶段的教学要求已经有所改变 因此，用
7、坐标法证明平面几何题要求不宜过高，适可而止 传统的解析几何内容安排在三角函数后面，而现在安排在三角函数之前 当用到相关三角函数时，只在边空给出提示，让学生作为结论直接使用，不给出证明 例如， 这些结论放在数学4时补证 2关注重要数学思想方法的教学重要的数学思想方法不怕重复 普通高中数学课程标准（实验）要求“坐标法”应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法 在教学中应自始至终强化这一思想方法，这是解析几何的特点 教学中注意“数”与“形”的结合，在通过代数方法研究几何对象的位置关系以后，还可以画出其图形，验证代数结果；同时，通过观察几何图形得到的数学结论，对结论进行代
8、数证明，即用解析方法解决某些代数问题，不应割断它们之间的联系，只强调“形”到“数”的方面 而忽视“数”到“形”的方面 3关注学生的动手操作和主动参与学习方式的转变是课程改革的重要目标之一 教学中，注意提供充分的数学活动和交流的机会，引导他们在自主探索的过程中获得知识、增强技能、掌握基本的数学思想方法 “观察”、“思考”、“探究”等栏目设置目的之一就是让学生参与到数学活动中来 采取“先学后教”的方法4关注信息技术的应用平面解析几何是一门典型的数与形结合的学科，信息技术在加强几何直观，促使数与形结合方面有着特殊的作用 借助信息技术，可以形象、直观地帮助学生认识所研究的直线 在动态演示中，观察直线的
9、性质，在直观了解的基础上，寻求形成这些性质的原因以及代数表示 通过对方程的研究，了解直线与直线的关系时，运用信息技术，可以进一步验证得到的结果，为抽象的认识增添形象的支持 3.1.1直线的倾斜角和斜率一、教学目标: 1正确理解直线的倾斜角和斜率的概念理解直线的倾斜角的唯一性.理解直线的斜率的存在性.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式2 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求
10、简的数学精神二、重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式.三、教学用具：计算机四、教学方法：启发、引导、讨论，先学后教.五、教学过程：（一） 直线的倾斜角的概念我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, 易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢? (1)它们都经过点P. (2)它们的倾斜程度不同. 怎样描述这种倾斜程度的不同?引入直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定= 0.
11、问: 倾斜角的取值范围是什么? 0180.当直线l与x轴垂直时, = 90.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.如图, 直线abc, 那么它们的倾斜角相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角不能确定一条直线.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点P和一个倾斜角.(二)直线的斜率: 一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tan当直线l与x轴平行或重合时, =0, k = tan0=0;当直线l与x轴垂直时, = 90, k
12、不存在.由此可知, 一条直线l的倾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在.例如, =45时, k = tan45= 1; =135时, k = tan135= tan(180 45) = - tan45= - 1.学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. (三) 直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导.(略) 斜率公式: 对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在
13、，倾斜角= 90, 直线与x轴垂直；(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换; (3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角=0，直线与x轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到 (四)例题:例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略)分析: 已知两点坐标, 而且x1x2, 由斜率公式代入即可求得k的值
14、; 而当k = tan0时, 倾斜角是锐角; 而当k = tan=0时, 倾斜角是0.略解: 直线AB的斜率k1=1/70, 所以它的倾斜角是锐角; 直线BC的斜率k2=-0.50, 所以它的倾斜角是锐角.例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l.分析:要画出经过原点的直线a, 只要再找出a上的另外一点M. 而M的坐标可以根据直线a的斜率确定; 或者k=tan=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作45的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可.略解: 设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有 1=(y0)(x0)所以 x = y可令x = 1, 则y = 1, 于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点M(1,1), 可作直线a.同理, 可作直线b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程) (五)练习: P91 1. 2.
