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1、分类号 O151.1 编 号 2012010634毕业论文题 目 学 院 姓 名 专 业 学 号 研究类型 指导教师 提交日期 原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名： 年 月 日 论文指导教师签名：一元n次方程的解法摘 要: 讨论了几类特殊五次以上的代数方程的根式解,并且介绍了方程的一种新的求根方法,通过求其相应矩阵的特征值来解方程.关键字: 高次方
2、程;根;倒数方程;二项方程;特征值Special-ary n-equation SolutionAbstract This paper discussed the radical solution of algebraic equations about some special classes of more than five times, and introduced a new equation of roots, by solving the corresponding matrix eigenvalue to solve equations.Keywords higher degr
3、ee equation, root, reciprocal equation, two equations, eigenvalue目 录0引言11二,三,四次方程根的情况:1二次方程求根公式1三次方程求根公式2.四次方程求根公式32 几类特殊高次方程的解法4 解方程4解方程4 解方程5求解方程6求解方程73 利用软件解方程9求解步骤:9例题展示94 小结13参考文献14致谢15数学与统计学院2012届毕业论文一元n次方程的解法0引言方程根式解得问题就是如何把方程的根用公式表示出来.二,三,四次方程的根的表达式以及根与系数之间的关系都已经很成熟.但求五次及更高次方程的根式解法,数学家们经历了一个
4、非常艰难的过程.第一个证明“高于四次方程不能用根号求解”的是挪威数学家阿贝尔.对于一般的高于五次的方程没有一般的根式解法.因此,数学家们转而研究特殊的高次方程,他们能用方程系数的代数式来表示. 代数学基本定理 每个次数的复系数多项式在复数域中有一根.定义1 形如的方程称为在一个数域S上的一个未知数的n次代数方程，称为一元n次多项式，式中n为正整数,.,都是属于数域S的常数,称为方程的系数.定义2 若存在一个常数C,使,则称C为多项式或方程的根.1 二,三,四次方程根的情况:1.1 二次方程求根公式1.1.1 一般形式 1.1.2 根的表达式 1.1.3 根与系数的关系 1.1.4 判别式 当,
5、方程有两个不相等的实根;当,方程有两个相等的实根;当,方程有两个复根.1.2 三次方程求根公式1.2.1 一般形式 (1)求解过程: 对(1)式除以a,并设.则(1)式可以化成如下形式, (2)(1),(2)式有相同的根，因此求解方程(1)的根可以转化为求解方程(2)的根.对于方程(2)的三个根有:其中 ,.再把带入解出.例1 解方程.解 对方程两边同除以2,再设,方程化为,代人以上公式解得:因此解得：.1.2.2 根与系数的关系 , 1.2.3 方程(2)的判别式 当时,方程有一个实根和两个复根;当时,方程有三个实根;时,有一个三重零根;时,三个实根中有两个相等;当时,有三个不等的实根.1.
6、3 四次方程求根公式1.3.1 一般形式 () （3）给(3)式两边同除以a,原方程可以转化成首项系数为1的四次方程；而方程的四个根与下面两个方程的四个根完全相同.其中y是三次方程的任一实根.在方程中,设,则原方程可化为二次方程,可解出四个根为, 其中若四次方程为,则设,原方程可化为二次方程,可解出四个根为阿贝尔定理 五次以及更高次的代数方程没有一般的代数解法.由代数数基本定理可知,任何方程在复数域中至少有一根.以下我们来讨论几类特殊一元高次方程的解法.2 几类特殊高次方程的解法定义3 形如的方程称为二项方程.2.1 解方程解题过程: 把A写成,则方程的n个根是 几何说明: 复平面上与数的n次
7、方根对应的点是一个正n边形的顶点,这些顶点在以原点为中心,以为半径的圆上,而这个n边形的顶点之一有辐角.定义4 形如的方程称为三项方程,其中a,b,c,n都不等于0,n为整数.2.2 解方程解题过程: l令,代入以上方程得，由此解出x,则是一个二项方程,从而再解出u,方程的解.例 2 解 令 ,代入方程得 ，求解此方程得 ,从而有,或,解这两方程,得出原方程的解为.定义5 形如的方程称为倒数方程（其中和项 的系数相同）.2.3 解方程2.3.1 方程求解过程：a) 解偶次倒数方程,对方程两边除以,再令,则原方程可化为z的次方程,解此方程,得z值,然后对应x的值可由二次方程求出.b) 解奇次倒数
8、方程归结到解偶次倒数方程,奇数次倒数方程必有一个根为,因此,先把原方程除以化成偶数次方程再求解.例 3 求方程的根.解 由于是原方程的一个根,因此把原方程除以,得到四次倒数再对其除以,然后合并整理得：令 ,则从而上式变为:,即 ,解得因而有确定x得两个方程:,由这两个方程解得:.定义6 对于一般的方程假定则原方程可解.2.4求解方程求解过程: 对于,利用,则此方程为方程两边同除以,得 (4)对(4)同乘以得,即,解得:,.去掉增根得到原方程的解特别的,当时例4 解方程 .解 方程的系数成等比数列,且公比,直接利用以上公式求解,由得定义7对于一般的方程假定则此方程也可解.2.5 求解方程求解过程
9、: 对于,由于,代入以下方程得 两边同除以,得到 (5)再给(3)两边同乘以,得到 (6) 得, 即则 去掉增根,则原方程的解为例 5 解 方程的系数成等比数列,且公比,直接利用以上公式求解,由可得,定理2设是数域P上的任意多项式,那么方程的根与矩阵A的特征根相同,其中A的形式如下:证 设矩阵对应的特征矩阵为 则令,以上定理得证.因此,把求方程的根转化为求矩阵A的特征值的问题,关于求矩阵的特征值问题,可以用软件求得.3 利用软件解方程3.1 求解步骤:第一步:写出方程所对应的矩阵;第二步:打开软件,输入命令EigenvaluesA;第三步:求得矩阵得特征值;第四步:得到原方程的解.3.2 例题
10、展示例 6 解 取求矩阵的特征值,打开软件,输入命令,运行得出结果.运行过程:原方程的解为: 例 7 求解方程.解 取求矩阵的特征值,打开软件,输入命令,运行得出结果.运行过程:即原方程的解: .例8 解方程 .解 取求矩阵的特征值,打开软件,输入命令,运行得出结果. 运行过程:原方程的解:例 9 解方程.解 取求矩阵的特征值,打开软件,输入命令,运行得出结果. 运行过程:原方程的解:4 小结 通过以上方程的求解过程可以看出,求解一个高次方程的根非常困难,利用软件,可以简化计算过程,提高计算的准确度和效率,同时,也可以利用软件检验所求得方程根的正确性,因此,利用这种求解高次方程的方法给求解高次
11、方程带来了极大地方便.参考文献:1王萼芳,石生明.高等代数M.第三版.高等教育出版社:2003.7:27 2安敏,彭亚绵,杨爱民.数学中特殊高次方程的解法研究J.高校讲台.2007.12:134-1353罗芳.求解高次实系数代数方程的Excel算法J.雁北师范学院学报.2004.20(5):60614张景晓.四类高次代数方程的升幂解法J.聊城大学学报.2003.16(3):20-225张景晓,董立华,连秀国.系数成等比数列的一元高次方程的求解J.河北理工教学研究.2003.2:5-76张景晓,连秀国,王俊青.一类实系数高次方程的求解J.数学通报.2003.8:42-437张栋恩,许晓革.高等数
12、学实验M.高等教育出版社.2004.7致谢:在天水师范学院的四年学习过程中,我得到了数学系各位领导,老师及班主任的悉心帮助和支持,使得我不仅学到了许多知识,也使我在大学这个社会群体中得到了很好的锻炼和发展.同时也为我顺利的走向工作岗位打下了坚实的基础.在此,谨向他们表示我衷心的感谢.本论文在选题及写作过程中得到了老师的悉心指导,老师多次询问写作进程,并为我指点迷津,帮我开拓思路,热枕鼓励.老师一丝不苟的作风,严谨治学的态度,踏踏实实的指导精神,不仅授我以论文,而且教会了我做学问的可贵的精神,使我受益终生.为此,我表示我最真心的感谢!在整个论文的写作过程中,得到了许多老师和同学的帮助,才使我的毕业论文得以顺利完成.在此对他们表示最诚挚的感谢.最后,我要特别感谢我的指导老师老师,感谢您对我毕业论文的悉心指导.我想真心地说声:老师,您辛苦了!2
