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1、第十一章 习题答案11.3使用静力法和机动法求出图示超静定梁的极限载荷。解1：（1）静力法首先该超静定梁（）化为静定结构（）、（）。分别求出其弯矩图，然后叠加，得该超静定梁的弯矩图（）在极限情况下设点支反力为，则：由上二式得当值达到上述数值时，结构形成破坏机构，故为该梁的完全解。（2）机动法设破坏机构如图（），并设点挠度为，则：外力功内力功由，可得极限载荷上限为由于在作用下，故上式所示载荷为完全解的极限载荷。解2：（1）静力法先将该超静定梁化为静定梁（）、（），分别作弯矩图，叠加得该超静定梁的弯矩图（）设点为坐标原点，此时弯矩方程为：在极限状态时，有令得 （1）而 （2） （3）联立解（1）、
2、（2）、（3）得解得取较大的值，可得在以上值作用下，梁已形成破坏机构，故其解为完全解。（2）机动法 如图（g）设在、两点形成塑性铰内力功为外力功为由虚功原理得：该解与完全解的误差为解3：（1）静力法设坐标原点在点，此时弯矩方程为：段（）段（）在处，为极大值，设在段，由得 （1）在极限情况下 ， 即： （2） （3）联立解（1）、（2）、（3）得取正号由于此时形成破坏机构，故值完全解。（2）机动法,如图（g）设此梁在和处形成塑性铰，则，内力功为外力功为 由虚功原理 得由极值条件得代入的表达式，则得的极小值由于此结果满足，故所得的值为完全解的极限载荷。11.4试用机动法求下列图示板的极限载荷 。(
3、1)四边简支，边长为的正方形板，载荷作用在板的中点；(2)三边简支一边自由的矩形板，在自由边中点承受集中力的作用；(3)四边简支矩形板，在板上任意点()承受集中力的作用解（a）外力功如破坏时四角可以翘起。内力功其中代入上式后，得由虚功原理得其中值由确定即由此得因此（b）外力功内力功由得而故（c）外力功内力功其中由得11.5使用机动法求图示连续梁的极限载荷。解1：次梁为一次超静定梁，可能的破坏机构有两种，如图（b）、（c）。若塑性铰在、处形成，此时外力功内力功由得若塑性铰在、处形成，设到得距离为，此时有外力功内力功由得令得将代入的表达式比较以上两种可知该梁的极限荷载为解2：该连续梁形成破坏机构有
4、如下三种形式：（1） 形成两个塑性铰产生局部破坏有两处可能，图（b）、形成塑性铰故 由得图（c）、两点形成塑性铰，此时有故由得（2） 形成三个塑性铰，产生局部破坏有三种可能：图（d）在、三点形成塑性铰，此时有由得图（e）在、三点形成塑性铰，此时 由得图（f）在、三点形成塑性铰，此时 由得（3） 形成三个塑性铰，产生整体破坏，只有一种可能性，如图（g），此时由得比较上述六种情况，以（g）的情况为最小，而且此载荷满足的塑性弯矩条件。故破坏载荷为解3：该梁的可能破坏结构与第一题完全相同若塑性铰在、处形成若塑性铰在、处形成比较可知梁的极限载荷为解4：此梁为一次超静定结构，当形成两个塑性铰时，梁即成为破
5、坏机构，其破坏形式有（b）（c）（d）三种可能。按图（b）形式破坏时 由得按图（c）形式破坏时，同上得按图（d）形式破坏时 由得比较得11.6试求图示刚架的极限载荷解（a）设如图在四点形成塑性铰，由得得且此值满足，条件所以解2：如图设在四点形成塑性铰，由点到点的距离待定。由得化简得令得故 解3：如图设在等处形成塑性铰。外力功内力功由得故11.7简支圆板半径为，受半径为轴对称均布载荷作用，试求其极限载荷 解：圆板的平衡方程为当，对应于条件的点，当时，对应于条件的B点，圆板从0到对应图上的线，即，故平衡方程可写为在处，存在如下平衡关系：即平衡方程为积分上式得由处，所以因此有在处即故此时区域的平衡方
6、程为积分上式得在处连续条件，可得如因此有当时，如得此式即为所求的极限载荷。11.8对图所示的连续梁，利用上限定理求极限载荷q.题图11.6解 1）对破损机构（a）可得由，得代入上式，得 （a）2）对破损机构（b） 由，得，代入上式得， （b）当（a）式和（b）式相等时，故有11.9图示宽度b不变，高度h线性变化的矩形截面梁，简支座截面高为，固定端处截面高为。集中力据简支端距离为，对两种情况用上限方法求塑性极限载荷P值。题图11.7解 由于各截面的值不同，因此除集中力作用点能形成铰外，另一铰距点距离为，而不一定总在固定端，如图所示。由外力功率，内力功率，得令，得 （a）上式中是定值，调整使最小，
7、由，得 （b）1） 当时，即，代入（b）式，得。因为，而现在，故最小值的只能取在固定端处，将代入（a）式，得2） 当时，即，代入（b）式，得。因为，这表明铰不在固定端，将代入（a）式，得11.10 用上限和下限方法求图示刚架的极限载荷P。解 1）上限法：图示破损机构（a），（b），（c），（d）都是分别由一个外载荷引起的。机构（a），点8，10，11成铰 （a）机构（b），点4，5，6成铰 （b）机构（c），点1，4，6，9，11，12成铰 （c）机构（d），只上层刚架倾斜，点3，8，11，12成铰 （d）对比之下，方案（c）对应的值最小，为要进一步减小值应减小内力功率，而增加外力功率所相应的
8、速度项。在图示机构（e）中，与机构（c）时一样，但较小，点1，6，9，10转角为，而点4，10，12转角为，由此得出 （e）这比机构（c）有了进一步改进，是否最小的上限值还可用下限法作进一步检验。3） 下限法：从机构（e）出发，规定杆内表层受拉时弯矩为正，这时有，未知的弯矩是。可列出平衡方程来求出这些未知弯矩。由结点的平衡，得，得由机构（b），得平衡方程 得由机构（c）得平衡方程 得由机构（a），得平衡方程 得最后由结点的平衡，得 得由于所有的，故所得的又是极限载荷的下限，因此是极限载荷值。11.11用静力法（即下限法）求图示刚架的极限载荷P，要求把问题归结为标准的线性规划问题，并用单纯形法求
9、解。题图11.9解 该钢架为二次超静定结构，可以列出两个独立的平衡方程，选用两种破损机构作为虚位移，可由虚功原理求得两个平衡方程为 （a）引进量纲为一的量，则上式可表示成 （b）这些截面的弯矩绝对值不允许超过，故有 （c）标准的线性规划问题的提法为：求，使取极小值。并满足下列约束条件： 现在要把满足方程（b），（c）及使取最大值的问题化成标准的线性规划问题，这时可作下列变换：（1）令 （2）令，把求最大变成求最小。（3）增加变量，使不等式约束变成等式约束。（4）在方程（b）中消去成为一个等式约束。这样问题就变成如下标准的线性规划问题：求，使最小。满足：下面我们采用单纯形法求解，用列表方式进行。
10、表中的值方程的系数，最后一行是的系数。初始基本可行解：取，基本变量为。由于满足，故是基本可行解，对应的。接着要进行换基，从最后一行看有哪些的系数是负的，现在只有一个系数负的。因此要进基，然后看这一列的系数，以这些系数为分母，右边的系数为分子，第一行为，第四行为，其余的行分母为零不考虑，的值为最小，故取出基，对第3列进行消去法，变成1，0，0，0，0，0形式，结果如下表：这时的解为。已经比初始基本解有了进步，但最后一行系数还有负的，故尚需换基，现在要进基，由于第三行为，第四行为，因此要出基，将第二行消成0，0，1，0，0，0形式如下表所示：这时对应的解为，由于最后一行系数都是正的，表示已求得线性
11、规划问题的解，将结果恢复到原问题则有这表示点1，2，4成铰，对应的破损机构如图所示。由于求线性规划问题的单纯形法已有成熟的计算机程序可以利用，因此可以对复杂刚架用静力法求极限载荷问题，使用单纯形法求解。11.12长半轴为a，短半轴为b的椭圆环，受力如图所示，假设环截面的屈服条件为，这里，分别表示纯弯时的极限弯矩及纯拉时的极限拉力，试用静力法求极限载荷P,给定参数如下：，试给出随的变化规律。题图11.10解 由于对称性，只取四分之一环，如图所示。对点1取矩得 （a）由于只受集中力作用，只能是截面1，2进入屈服，代入屈服条件，得 （b）代入式（a），得 （c）解出 （d）将等代入，可简化为 （e）使用上式时有如下限制，由（b）式 ， （f）由于，故，因此屈服条件要求即 （g）对不同的值代入（e）式，可得下列结果。00.10.20.30.40.46063.9234.8516.3208.91714.17420当后，这就违反了（g）式，故（e）式只适用于情况。对于较大的值，图示的弯矩符号都要改号，方程（a）变为 （h）类似的可导出与的关系为 （i）对不同的值，可求得值如下10.90.80.70.60.53563.8624.7456.1
