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1、第2章 薛定谔方程 德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告，报告后， 德拜(P.Debye)评论说：有了波， 就应有一个波动方程。几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。 薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来；它是否正确，只能由实验检验。1 薛定谔方程的建立(一种方法)一、薛定谔方程1.一维薛定谔方程 一维自由运动粒子 无势场，不受力，动量不变。 一维自由运动粒子的波函数(前已讲) Y(x, t) = y0 e-i(2p/h) (Et - px) Y x= ( )PYih2Y x2P 2
2、h2= -( ) Y由此有 P22mE = t= ih ( ) Y (x, t)h22m-( ) Y (x, t)x2 2 再利用 可得此即 一维自由运动粒子(无势场)的薛定谔方程 推广到若粒子在势场U(x, t) 中运动P22mE = +U(x, t) 由 有 Y t= ih ( ) h22m-( ) 2Yx2+ U(x, t)Y 一维薛定谔方程式中 Y =Y (x, t)是粒子在势场U= U(x, t) P22mE = +U(x, t) 中运动的波函数和经典关系 相比较,只要把 tE ih( ) xP -ih( ) 再作用到波函数 Y (x, t) 上，即可得到 上述方程。 2.三维薛定谔
3、方程式由一维方程推广可得三维薛定谔方程式= ih ( ) Y (r, t ) h2 t2m-+ U(r, t) Y (r, t)2 拉普拉斯算符2x22y22 +2z2 当 U(r, t) = 0时，方程的解， 即三维自由运动粒子的波函数Y(r, t) =y0 e(-i / h) (E t - p r ) 波函数的叠加原理 薛定谔方程是 Y 的线性微分方程；若Y1、Y2是方程的解， 则 c1Y1 + c2Y2也是方程的解。 (c1 、c2是常数) E.Schrodinger & P.A.M.Dirac 荣获 1933年Nobel Prize (for the discovery of new
4、productive forms of atomic theory)薛定谔(1887-1961)奥地利人创立量子力学二、定态薛定谔方程1.一维定态薛定谔方程若粒子在恒定势场 U = U (x) 中运动 (含常数势场U = U0 ) 薛定谔方程式可用分离变量法求解。(1)分离变量把波函数写为 Y(x,t) = y(x)T(t) 代入一维薛定谔方程 Y t= ih ( ) h22m-( ) 2Yx2+ U(x)Y ihdT(t)d t= ET(t) (1) 则分为两个方程h22m-+ U(x) y (x) = Ey (x) (2) d2dx2 E在这里是分离常数，与x、t无关 (1)式的解 T(t
5、) = ce-(i/h)Et 由量纲分析可知，E具有能量的量纲。(2)一维定态薛定谔方程h22m-d2dx2= Ey (x) +U(x) y (x) 式(2)即 一维定态薛定谔方程 定态波函数 y =y (x) 它所描写的粒子的状态称作定态，是能 量取确定值的状态。概率密度 Y(x,t) Y*(x,t) = y (x) y *(x) 定态下的概率密度和时间无关 2.三维定态薛定谔方程 U= U(r) 或 U(x,y,z)同样可得 三维定态薛定谔方程= Ey(r) h22m-+ U(r) y(r)2三、波函数的物理条件 用来描写实物粒子的波函数应满足下列 物理条件1.标准条件：y (x)必须 单
6、值、有限、连续因为，粒子的概率在任何地方只能有一个值； 不可能无限大； 不可能在某处发生突变。 2.归一化条件 粒子在空间各点的概率总和应为l全空间 Y(r, t)Y *(r, t) du = 1 定态下 全空间y (r ) y *(r ) du = 1 一维定态- y (x) y*(x) dx = 1 *在量子力学中用 薛定谔方程式 加上 波函数的物理条件求解微观粒子在一定的势场中的运动问 题(求波函数，状态能量，概率密度 等) 2 一维无限深方势阱中的粒子 求解定态薛定谔方程：给定势函数U(x)，求解能量和波函数 (结构问题)； 给定势函数U(x)和入射能量E(总能量)，求解粒子的波函数
7、(散射问题)。 一、一维无限深方势阱中的粒子a金属U(x)U=U0U=U0EU=0x极限U=0EUUU(x)x0a 无限深方势阱 (potential well) 一维无限深方势阱 0xoaV(x)1.势函数 V(x) = 0 (0 x a) (x 0， x a) 粒子在0 x 0p2h22ma2最低能量(零点能) 波动性思考：用不确定关系说明最低能量为什么 不为零？(2)波函数波函数的空间部分 阱内区域：Yn(x) = Bsin(np/a)x (n = 1,2,3,) 由归一化条件 - |Yn(x)|2dx = 1 可定出常数 B=(2/a)1/2 Yn(x)= ( )1/2sin( )x2
8、anpa(n = 1,2,3,) 于是，波函数(空间部分) 是以x = 0 和x = a为节点的一系列驻波解。阱外区域： yn = 0这些波函数的空间部分称作能量本征函数(energy eigenfunction) 全部波函数(包括空间、时间部分) Yn(x, t) =yn exp(-i/h)Ent注意：物理条件的重要性。5.概率密度 wn(x) = |Yn(x)|2 = (2/a)sin2(np/a)x (n = 1,2,3,)xaoE、y(x)、|Y (x)|2n = 2n = 1n = 3 |2Yn|En0an很大量子 经典 3 势垒穿透(barrier penetration)一、一维势垒 粒子从x = - 处以确定能量E入射； 给定势函数U(x)； 解定态薛定谔方程，求粒子的波函数和概率分布。 两块金属或半导体接触处势能隆起，形xoEU = 0U= U0U (x)I区II区 成势垒。1.势函数 U(x) = 0 ， (x 0) 入射能量 E U02.定态薛定谔方程h2+ y1(x) =0, (x0)令+k2y1(x) = 0,
