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1、第5节直线、平面垂直的判定及其性质知 识 梳 理1直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面内的任意直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理 两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行ab2.直线和平面所成的角(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0的角(2)范围：.3二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫
2、做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角(3)二面角的范围：0，4平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面l1垂直关系的转化2直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线(2)若两条平行
3、线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直诊 断 自 测1判断下列说法的正误(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()答案(1)(2)(3)(4)解析(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则有l或l与斜交或l或l，故(1)错误(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误(3)若两个平
4、面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的所有直线，则，故(4)错误2(2021温州适应性测试)设m，n为直线，为平面，则m的一个充分条件可以是()A，n，mn B，mC，m Dn，mn答案B解析对于A，直线m与平面可能平行、相交或直线m在平面内，A错误；对于B，由直线垂直于两平行平面中的一个，得该直线垂直于另一个平面，B正确，对于C，直线m与平面可能平行、相交或直线m在平面内，C错误；对于D，直线m与平面可能平行、相交或直线m在平面内，D错误综上所述，故选B.3已知互相垂
5、直的平面，交于直线l，若直线m，n满足m，n，则()Aml Bmn Cnl Dmn答案C解析因为l，所以l，又n，所以nl，故选C.4在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()AA1EDC1 BA1EBDCA1EBC1 DA1EAC答案C解析由题设知A1B1平面BCC1B1且BC1平面BCC1B1，从而A1B1BC1，又B1CBC1，且A1B1B1CB1，所以BC1平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1EBC1.5(2021北京顺义区二模)已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则()A若m，则mB若m，n，则mnC若m，n，m，n，则D若m，n，则mn答
6、案B解析在如图所示的正方体中依次判断各个选项；A选项，面ABCD面ADD1A1，AA1面ABCD，此时AA1面ADD1A1，可知A错误；B选项，m，则内必存在直线，使得ml；又n，则nl，可知nm，可知B正确；C选项，取AA1和DD1中点E和F，可知A1D1面ABCD，EF面ABCD，A1D1，EF面ADD1A1，此时面ADD1A1面ABCD，可知C错误；D选项，AA1面BCC1B1，AD面BCC1B1，此时AA1ADA，可知D错误6(必修2P67练习2改编)在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，(1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点
7、O是ABC的_心答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在RtPOA、RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，所以OAOBOC，即O为ABC的外心图1 图2(2)如图2，PCPA，PBPC，PAPBP，PC平面PAB，AB平面PAB，PCAB，又ABPO，POPCP，AB平面PGC，又CG平面PGC，ABCG，即CG为ABC边AB的高同理可证BD，AH分别为ABC边AC，BC上的高，即O为ABC的垂心考点一线面垂直的判定与性质【例1】 如图，正三棱柱ABCA1B1C1的高为，其底面边长为2.已知点M，N分别是棱A1C1，AC的中点，点D是棱CC1上靠近C的三等分点求证
8、：(1)B1M平面A1BN；(2)AD平面A1BN.证明(1)连接MN，正三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1C1C是平行四边形，因为点M，N分别是棱A1C1，AC的中点，所以MNAA1且MNAA1，又正三棱柱ABCA1B1C1中AA1BB1且AA1BB1，所以MNBB1且MNBB1，所以四边形MNBB1是平行四边形，所以B1MBN，又B1M平面A1BN，BN平面A1BN，所以B1M平面A1BN.(2)在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，BN平面ABC，所以BNAA1.在正ABC中，N是AC的中点，所以BNAC，又AA1，AC平面AA1C1C，AA1ACA，所以BN平面AA1
9、C1C，又AD平面AA1C1C，所以ADBN.由题意，AA1，AC2，AN1，CD，所以，又A1ANACD，所以A1ANACD，则AA1NCAD，所以ANA1CADANA1AA1N，则ADA1N，又BNA1NN，且BN，A1N平面A1BN，所以AD平面A1BN.感悟升华(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(，a，la，ll)(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想【训练1】 如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD
10、，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.证明(1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD，又ACCD，且PAACA，CD平面PAC.又AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.又PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.又ABAD，且PAADA，AB平面PAD，又PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.考点二面面垂直的判定与性质【例2】 (2020江
11、苏卷)在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，B1C平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点(1)求证：EF平面AB1C1；(2)求证：平面AB1C平面ABB1.证明(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EFAB1.又EF平面AB1C1，AB1平面AB1C1，所以EF平面AB1C1.(2)因为B1C平面ABC，AB平面ABC，所以B1CAB.又ABAC，B1C平面AB1C，AC平面AB1C，B1CACC，所以AB平面AB1C.又因为AB平面ABB1，所以平面AB1C平面ABB1.感悟升华(1)证明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(2)已知两平面垂直时，一般要用
12、性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直【训练2】 如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.证明(1)在平面ABD内，ABAD，EFAD，则ABEF.AB平面ABC，EF平面ABC，EF平面ABC.(2)BCBD，平面ABD平面BCDBD，平面ABD平面BCD，BC平面BCD，BC平面ABD.AD平面ABD，BCAD.又ABAD，BC，AB平面ABC，BCABB，AD平面ABC，又因为AC平面ABC，ADAC.考点三线
13、面角与面面角【例31】 (2019浙江卷)如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，平面A1ACC1平面ABC，ABC90，BAC30，A1AA1CAC，E，F分别是AC，A1B1的中点(1)证明：EFBC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值(1)证明如图，连接A1E.因为A1AA1C，E是AC的中点，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，所以A1E平面ABC，又BC平面ABC，则A1EBC.又因为A1FAB，ABC90，故BCA1F.又A1EA1FA1，A1E，A1F平面A1EF，所以BC平面A1EF.又EF平面A1EF，因此EFBC.(2)解如图，取BC的中点G，连接EG，GF，则四边形EGFA1是平行四边形由于A1E平面ABC，EG平面ABC，故A1EEG，所以平行四边形EGFA1为矩形由(1)得BC平面EGFA1，又BC平面A1BC，则平面A1BC
