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1、高中数学必修1 知识点总结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1、 集合的含义 ：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：1. 元素的确定性； 2. 元素的互异性； 3. 元素的无序性3、集合的表示：如我校的篮球队员，太平洋，大西洋，印度洋， 北冰洋 1 .用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,52集合的表示方法：列举法与描述法。非负整数集（即自然数集）记作： N正整数集 N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如： a 是集合 A 的元素，就说 a属于集合
2、A记作a A ,相反，a不属于集合A记作a A列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法： 将集合中的元素的公共属性描述出来， 写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。语言描述法：例：不是直角三角形的三角形数学式子描述法：例：不等式x-32的解集是x?R| x-32或x| x-324、集合的分类：（ 1） 有限集含有有限个元素的集合（ 2） 无限集含有无限个元素的集合（ 3） 集不含任何元素的集合例：x|x2= 5二、集合间的基本关系1 . “包含”关系子集注意：有两种可能（1） A是B的一部分，；（2） A与B是同一集合。反之：集合A
3、不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A2 .“相等”关系（5 5,且5& 5,则5=5）实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同”结论：对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合 B的元 素，同时，集合B的任何一个元素都是集合 A的元素，我们就说集合A等 于集合B,即：A=B任何一个集合是它本身的子集。 A A真子集：如果A B,且B A那就说集合A是集合B的真子集，记作AB （或 B A）如果AB, BC , 那么 AC如果A B 同时B A 那么A=B3 .不含任何元素的集合叫做空集，记为规定 : 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子
4、集。三、集合的运算1交集的定义：一般地，由所有属于A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作 An B(读作“ A 交 B”)，即 An B=x|x C A,且 x C B.2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：AU B(读作 A并B)，即AU B=x|x e a,或 x e B.3、交集与并集的性质：An A = A, A n(I)=小，APB = BAA, AU A = A,AU d=A ,A UB = B UA.4、全集与补集( 1)补集：设S 是一个集合， A 是 S 的一个子集(即 ) ，由 S 中所有不
5、属于 A 的元素组成的集合，叫做S 中子集 A 的补集(或余集)( 2)全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。四、函数的有关概念1函数的概念：设A、 B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f ，使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对 应，那么就称f: A- B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x) , x 6 A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相 对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| x A 叫做函数的值域.注意：如果只给出解析式y=f(x)
6、 ，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被开方数不小于零； (3) 对数式的真数必须大于零； (4) 指数、 对数式的底必须大于零且不等于 1. (5) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 . 那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合. ( 6)指数为零底不可以等于零(6) 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.( 又注意：求出不等式组
7、的解集即为函数的定义域。 )构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域注意： ( 1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的， 所以， 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)( 2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致(两点必须同时具备)(见课本21 页相关例 2)值域补充(1) 、 函数的值域取决于定义域和对应法则， 不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2). 应熟悉掌握一次函数、 二次函数、 指数、 对数函数及各三
8、角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x e A)中的x为横坐标， 函数值y为纵坐标的点P(x, y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x C A)的图象. 集合 C 上每一点的坐标(x ， y) 均满足函数关系 y=f(x) ， 反过来， 以满足 y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x , y),均在C上.即记为C= P(x,y) | y= f(x) , x A ，图象C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线)，也可能 是由与任意平行与Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2)
9、画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y) 为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y) ，最后用平滑的曲线将这些点连接 起来 .B、图象变换法(请参考必修4三角函数)常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3) 作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。4了解区间的概念1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；( 2)无穷区间；( 3)区间的数轴表示5什么叫做映射一般地，设A、 B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f ，使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中
10、都有唯一确定的元素y与之对应， 那么就称对应f : Af B为从集合A到集合B的一个映射。记作“ f : A- B” 给定一个集合A到B的映射，如果aCA,bC B.且元素a和元素b对应，那么， 我们把元素b 叫做元素 a 的象，元素a 叫做元素 b 的原象说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合A、B及对应法则f是确定的；对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应， 它与从B到A的对应关系一般是不同的；对于映射f:A-B来说，则应满足：(I)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(H) 集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(田)不要求集
11、合 B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。常用的函数表示法及各自的优点：1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据； 2 解析法： 必须注明函数的定义域； 3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征； 4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值.补充一：分段函数 (参见课本P24-25)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。 分段函数的解析式不能写成
12、几个不同的方程， 而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来， 并分别注明各部分的自变量的取值情况 ( 1) 分段函数是一个函数， 不要把它误认为是几个函数；( 2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集补充二：复合函数如果 y=f(u),(u C M),u=g(x),(x A),则 y=fg(x)=F(x), (x A)称为 f、g的复合函数。例如 : y=2sinx y=2cos(2x+1)7函数单调性( 1) 增函数设函数 y=f(x) 的定义域为 I ， 如果对于定义域I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量a, b,当ab时，都有f(a)f(b),那么就说f
13、(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间(睇清楚课本单调区间的概念)如果对于区间D上的任意两个自变量的值a, b,当af(b), 那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意： 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质， 是函数的局部性质；2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量a， b； 当 ab 时， 总有 f(a)f(b)。( 2) 图象的特点如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x) 在这一区间上具有 ( 严格的 ) 单调性， 在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的， 减函数的图象从左到右是下
14、降的 .( 3) 函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：任取a, bCD,且2比2作差f(a) f(b) ; 3变形(通常是因式分解和配方) ； 4 定号(即判断差 f(a) f(b) 的正负) ； 5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).(B) 图象法 (从图象上看升降)_(C) 复合函数的单调性复合函数 fg(x) 的单调性与构成它的函数u=g(x) ， y=f(u) 的单调性密切相关注意： 1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 , 不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2 、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？8函数的奇偶性( 1)偶函数一
15、般地， 对于函数 f(x) 的定义域内的任意一个x ， 都有 f( x)=f(x) ， 那么 f(x)就叫做偶函数( 2) 奇函数一般地，对于函数f(x) 的定义域内的任意一个x ，都有f( x)= f(x) ，那么f(x) 就叫做奇函数注意： 1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性， 函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性, 也可能既是奇函数又是偶函数。2、由函数的奇偶性定义可知， 函数具有奇偶性的一个必要条件是， 对于定义域内的任意一个x ，则x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) 3、具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称总结： 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 1
