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1、圆锥曲线的统一性zhaoqingmu椭圆、双曲线和抛物线都是可以由平面截圆锥面得到的截线，故而将这三种曲线统称为圆锥曲线。以圆锥曲线的统一性为题从以下几个方面作了研究。一、方程形式的统一：在几何上，椭圆、抛物线和双曲线是外形极不相似的三种曲线，很难看出它们之间有什么内在的联系。可是从代数上说，它们的方程有统一的形式：（1）在平面直角坐标系中，圆锥曲线都可以用二元二次方程Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0（B 丰 0, A2 + C2 丰 0）来表示 当B2 - AC 0时，它表示双曲线。代数式B 2-AC值的变化超过某一界限会引起曲线类型的改变；而这些曲线在代数
2、上的区别只在于方程系数B2 - AC的正负正负号！这一结论在天体物理方面是有具体应用的: 当人造卫星的初速度等于第二宇宙速度时，卫星的轨道是抛物线； 当人造卫星的初速度小于第二宇宙速度时，轨道变成椭圆； 当人造卫星的初速度大于第二宇宙速度时，轨道就成了双曲线的一支。另外，圆锥曲线还可用二次曲线：（1 一 e2）x2 + y2 一 2px + p2 = 0（p 0,e 0）表示。在极坐标系中，圆锥曲线也有统一的方程：p= 印1 - ecos0 当 0 e 1时，该方程表示双曲线。利用该方程往往可使本来复杂的问题变简单。（参看第二部分的“性质 2”）二、轨迹的统一：从点的集合或轨迹的观点看，圆锥曲
3、线都是与定点和定直线距离的比是常数e的点的集 合或轨迹，这个定点是它们的焦点，定直线是它们的准线，只是由于离心率取植范围的不 同，而分为椭圆、双曲线和抛物线三种曲线。三、性质的统一：由于方程形式上的统一，圆锥曲线必然会有性质上的统一，即具有相似的性质。以下就其中的一小部分作些初步的探讨（以椭圆和双曲线为主）：性质 1x2斜率为kL的直线L交椭圆a2+ y = 1(a b 0)于A、B 两点，线段b2AB中点P则匕弟=一 ar -x2斜率为kL的直线L交双曲线ay2b2=1（a,b ）于A、B两点，线段ABb2中点P，则讥=2证明：（以椭圆为例）设 A（x1y1）， B（x2，x22）在曲线ar
4、性质252 + 22=i a2 b2两式相减，得x22a2+占二1b2X2 一 X2y2 一 y21 2 + 1 丿2 = 0 a2b2( y 一 y )(y + y )b21212 二(x 一 x )(x + x )a 21212y 一 y又 k = i 2 L x x 12kkb2a 2kOP证毕y + y1 2x +x12直线L交圆锥曲线于A、B两点,11且直线L过焦点F，则而+丽epp 为圆锥曲线的焦点到其对应准线的距离） .证明：设圆锥曲线极坐标方程为p=ep1ecos0a（p ,e）, b（p ,e +兀）贝y有12p = ep _11 e co p2ep_ ep1 e cos(+
5、兀)1 + e cos 01 1(1ecose)+(1+ ecose)2 + p pepep12L+_!AFBF2= 证毕epx2y2x2y2性质3直线l交椭圆a+厉=1(a b 0)或双曲线a2 b=1(a,b 0)于a、abB两点，且ZAOB = 90。，则原点O到直线L的距离d a 2 土 b 2证明：(以椭圆为例) ZAOB 二 90。兀兀.设 A(p cos0, p sin0), B(p cos(0+), p sin(0+)1 1 2 2 2 2p2 cos20 p2 sin201cos20sin20则吕+吕=1=+b2p 2 a21p 2 cos2(0 + )p 2 sin2(0
6、+ )2 2 + 2 2a2b2a2b2p 2 sin 2 0p 2 cos 2 0= + 2 = 1a2b21 sin20 cos2 0 二 +p 2 a2 b22由三角形面积公式可得：p2211+ - a 2 b2PAd =州+ p 2ab,证毕.1 + 1 a 2 + b 2a 2 b 2x2y2a2 - b2 二 1(a，b 0)实轴的端x2y2性质 4过椭圆a+ b=1(a b 0)长轴或双曲线石点 A ,A 的切线，与椭圆或双曲线上任一点的切线交于 P,P 两点，则1 2 1 2P AJ -巴 AJ = b 2证明：(以椭圆为例)设椭圆上任一点P(acos申,bsin申)a cos
7、 Qb sin 甲,则过P点的切线的方程为：x +y = 1a2b2即 b cos Q - x + a sin Q - y - ab = 0 (*) P1(-a, y1)， P2(a,y2)过A , A的切线的方程：x = -a,x = a12代入方程( *)后可知：P A = lyj = b1 + cos psin plp2 AJ 二卜 J 二b1 - co 卑s inp性质点 P( x, y) 是 椭x2y2圆a+厉二1（ab0）或双曲线22.|p Aj |P Aj = b 2证毕.x2y2a 一b = 1（a,b ）上除去左顶点A（-a,0）和右顶点B（a,o）外任证明：点，直线PA和P
8、B的斜率分别为k k ,则 k k = e 2 一 112（以椭圆为例）k1b 2 (a 2 - x 2)/. k k12y2a 2x2 -a2 x2 -a2b2a 2a2 -c2=e2 -1证毕.a2点 P(x1, y1) 是 椭 圆x2y2a+b二1（ab0）或双曲线x2 y2a一厉=1（a,b0）上任一点，直线l是经过点p的切线，d是坐 标原点O到直线L的距离，r,r2是点P到左、右焦点F1和F2的距离， 贝 y rrd 2 = a 2 b 212证明：（以椭圆为例）直线L的方程为：一1 x +y = 1则 a 2b21a 4b4a 2b4a 2b2x 2 + y 2a 4b4b4x2 + a4y211b4x21-a2b2(a2 - x2)+ a 2+ -a2b2x2+ a 2 - x 2 a21a2b2a2b2a2b2x2(b2 - a2)x2c2a2 - e2x21+ a 2 1 + a 21a2a2r r = (a + ex )(a 一 ex ) = a2 一 e2x21 2 1 1 1rrd 2 = a2b2 证毕12
