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1、简单几何体的表面积与体积的计算一、四种常见几何体的平面展开图1.正方体沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由六个全等的正方形组成的，见图61。图6l只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。2.长方体沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的，见图62。图62只是长方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。3.（直）圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平，就得到圆柱体的平面展开图。它由一个长方形和两个全等的圆组成，这个长方形的长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱体的
2、高。这个长方形又叫圆柱的侧面展开图。图63就是圆柱的平面展开图。4.（直）圆锥体沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。具体图形见图64。二、四种常见几何体表面积与体积公式1.长方体长方体的表面积=2（ab+bc+ca）长方体的体积=abc（这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高）。2.正方体正方体的表面积=6a2正方体的体积=a3（这里a为正方体的棱长）。3.圆柱体圆柱体的侧面积=2Rh圆柱体的全面积=2Rh+2R2=2R（h+R）圆柱体的
3、体积=R2h（这里R表示圆柱体底面圆的半径，h表示圆柱的高）。4.圆锥体圆锥体的侧面积=Rl圆锥体的全面积=Rl+R2母线长与高）。三、例题选讲例1 图65中的几何体是一个正方体，图66是这个正方体的一个平面展开图，图67（a）、（b）、（c）也是这个正方体的平面展开图，但每一展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。分析与解：从图65和图66中可知： 与；与；与互相处于相对面的位置上。只要在图67（a）、（b）、（c）三个展开图中，判定谁与谁处在互为对面的位置上，则标有数字的四个空白面上的图案便可以补上。先看图67中的（a），仔细观察可知，1与4，3与处在互为对面的位置上。再看图67中
4、的（b），同上，1与3，2与处在互为对面的位置上。最后再看图67中的（c），同上，1与，2与4处在互为对面的位置上。图67（a）、（b）、（c）标有数字的空白面上的图案见图68中的（a）、（b）、（c）。例2 图69中的几何体是一个长方体，四边形APQC是长方体的一个截面（即过长方体上四点A、P、Q、C的平面与长方体相交所得到的图形），P、Q分别为棱A1B1、B1C1的中点，请在此长方体的平面展图上，标出线段AC、CQ、QP、PA来。分析与解：只要能正确画出图69中长方体的平面展开图，问题便能迎刃而解。图610中的粗实线，就是题目中所要标出的线段AC、CQ、QP、PA。例3 在图611中，M、
5、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体的侧面到达N，沿怎么样的路线路程最短？分析与解：沿圆柱体的母线MN将圆柱的侧面剪开铺平，得出圆柱的侧面展开图，见图612，从M点绕圆柱体的侧面到达N点。实际上是从侧面展开图的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点N。而两点间以线段的长度最短。所以最短路线就是侧面展开图中长方形的一条对角线，见图612和图613。例4 图614中的几何体是一棱长为4厘米的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2厘米，深为1厘米的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少（=3.14）？分析与解：因为正方体的棱长为2厘米，而孔深只有1厘米
6、，所以正方体没有被打透。这一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积、这六个圆柱的高为1厘米，底面圆的半径为1厘米。正方体的表面积为426=96（平方厘米）一个圆柱的侧面积为211=6.28（平方厘米）几何体的表面积为96+6.286=133.68（平方厘米）答：（略）例5 图615是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少？分析与解：从图615中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个。另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后；左、右两个面的表面积也是
7、分别相同的。因为小正方体的棱长是1厘米，所以上面的表面积为129=9（平方厘米）前面的表面积为128=8（平方厘米）左面的表面积为127=7（平方厘米）几何体的表面积为92+82+72=答：（略）例6 图616中所示图形，是一个底面直径为20厘米的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6厘米，高20厘米的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？（=3.14）分析与解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20厘米的圆，它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度。因为圆
8、锥形铅锤的体积为设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为x（202）2x=100x（立方厘米）所以有下列方程：60=100x，解此方程得：x=0.6（厘米）答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6厘米。例7横截面直径为2分米的一根圆钢，截成两段后，两段表面积的和为75.36平方分米，求原来那根圆钢的体积是多少（=3.14）？分析与解：根据圆柱体的体积公式，体积=底面积高。假设圆钢长为x，因为将圆钢截成两段后，两段表面积的和，等于圆钢的侧面积加上四个底面圆的面积，所以有下面式子：2（22）x+4（22）2=2x+4根据题目中给出的已知条件，可得下面方程：2x+4=75.36解方程：圆钢的体积为（22）
9、21031.4（立方分米）答：（略）。例8 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为10厘米、圆心角为216的扇形，求此圆锥的体积是多少（=3.14）？分析与解：要想求出圆锥的体积，就要先求出它的底面圆的半径与高。按题意画图617。在图617中，字母R、h分别表示底面圆的半径和圆锥体的高，根据弧长公式：弧长=2Rn360（这里R是圆的半径，n为弧所对圆心角的度数），便可求出弧长来。这个弧长就是底面圆的周长，再利用周长公式，就可求出底面圆的半径R。另外从图617中可以看出：圆锥的高、母线、底面圆的半径正好构成一个直角三角形，利用勾股定理便可求出圆锥的高h。所以 2R=12，得R=6（厘米）在直角三角形中
10、，根据勾股定理有：102=h2+R2，即h2=102-R2 =100-36=64，h=8（厘米）答：（略）例9 图618中的图形是一个正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点。现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原正方体体积的几分之几？分析与解：因为锯掉的是立方体的一个角，所以HA与AG、AF都垂直。即HA垂直于三角形AGF所在的立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF为底面，H为顶点的一个三棱锥，如果我们假设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a3。三棱锥的底面是直角三角形AGF，而角FAG为90，G、F又分别为AD、而三棱锥的体积等于底面积
11、与高的乘积再除以3，所以锯掉的那一角的体积为答：（略）例10 图619是一个里面装有水的三棱柱封闭容器，图620是这个三棱柱的平面展开图。当以A面作为底面放在桌面上时，水高2厘米，如果以B面与C面分别作为底面放在桌面上时，水面高各为多少厘米？分析与解：我们先求以A面作为底面放在桌面上时容器内的水的体积。此时水的体积，与以梯形FJQP为底面、JI为高的棱柱的体积相等。棱柱的体积等于底面积乘以高，从图620可以看出，此棱柱的高JI为12厘米，梯形FJQP的下底FJ为3厘米，高QJ为2厘米。因为PTJQ是个长方形，所以QJ=PT=2厘米，而Q点是GJ的中点，PQ平行于FJ，这样可以推算出QP为FJ的
12、一半，为1.5厘米，这一来梯形FJQP的面积为以C面为底面时，水的体积与以C（即三解形EHI）为底面，高为某数值此时水面的高度为：546=9（厘米）以B面作为底面时，原来以A面为底面时不装水的那一部分，现在应装水，原来装水的某一部分现在应空出来，下面来讨论这两份之间的数量关系。为方便起见，我们把C面适当放大成图621，在图621中，因为PQ平行于FJ，PT垂直于FJ，所以JQPT是一长方图6ZI形，故JQ、PT、QG的长都是2厘米，TJ、PQ的长为1.5厘米，因为FJ长为3厘米，所以FT的长也为1.5厘米，这一来三角形FPT与PQG的形状一样，面积相等。这便说明原来以三角形PFT为底面，JI为高的装水的棱柱的体积，与现在以三角形PQG为底面，JI为高装水的棱柱的体积是相等的。所以以B面为底面时，水面的高度等于PQ的长度，即水面高为1.5厘米。答：（略）
