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1、【高三复习教案】数列的求和方法知识归纳、学习要点、例题解析（一）知识归纳： 1拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等）， 然后分别求和.2并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易 求和的数列.3裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若 干项.4错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原 数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n项和公式的方法.5.反序求和法：将一个数列的倒数第k项（k=1, 2, 3,，n）变为顺数第k项，然后将得到 的新数
2、列与原数列进行变换（相加、相减等），这是仿照推导等差数列前n项和公式的方法.（二）学习要： 1.“数列求和”是数列中的重要内容，在中学高考范围内，学习数列求和不需要学习任何理信 纸，上面所述求和方法只是将一些常用的数式变换技巧运用于数列求和之中. 在上面提到的方法中， “拆项”、“并项”、“裂项”方法使用率比较高，“拆项”的典型例子是数列“ S二1 x2 + 2x3 + + n（n +1） ”的求和；“裂项”的典型例子是数列n1 1 1“ S+ 人”的求和；并项”的典型例子是数列n 1x 2 2 x 3n（n +1）“ S 二 1 2 + 3 4 + 5 6 + （1） n+1 - n ”的求
3、和.n2.“错位”与“反序”求和方法是比较特殊的方法，使用率不高，其中“错位”求和方法一般只要求解决下述数列的求和问题：若a 是等差数列，b 是等比数列，贝I数列a -b 的求和运 nnn n用错位求和方法.例 1解答下述问题：（I）已知数列a 的通项公式a = 竽，求它的前n项和.nn （2n 1）（2n +1）解析 annn+2n 1 2 n + 1s 二(1 + 1) + (2 + 2) + . + ( n 1 +n 3352n 3n 1n2n 1)+(2n 1 +n2n +1),=1 + (丄 + 2) + (2 + 3) + + (口 + 亠)+ 亠二 n + 亠3 3552n12n
4、12n+12n+12n(n +1)2n + 12n +1(II)已知数列a 的通项公式a =,求它的前n项和.nnn(n +1)2(n +1)2 n 211解析T a (1- 1，2 - (n +1)2 n 2(n +1)2-Sn = (1-+ G - 32) + + (n7 -)+ G -)1(n +1)2(III)求和：S = 1 - n + 2 - (n 1) + 3 - (n 2) + + n -1;n解析注意：数列的第n项“n1”不是数列的通项公式，记这个数列为a , n其通项公式是a 二 k - n (k 1)二 kn k 2 + k(k 二 1,2,3, , n),kS (1 +
5、 2 + 3 + + n) n (12 + 22 + 32 + + n2) + (1 + 2 + 3 + + n) nn2(n+1)n(n+1)(2n+1)n(n+1)n(n+1)(n+2)29(W)已知数列a二(n +1) x ( )n,求a 的前n项和S .n 10 n n9解析t a二n +1为等差数列,b二()n为等比数列，.应运用错位求和方法:n 10 + . 2999S = 2 x+ 3 x ()2 + + (n +1) x ()n;n1010109 999.一 S = 2 X ()2 + 3 X ( )3 + + (n +1) X ()n+1,10 n101010199999两式
6、相减得：一 S =+ ( )2 + (一)3 + + (一) n (n + 1) X ( ) n+110n 51010101098199999=+X 1 (一) n (n + 1) X (一) n+1 = (一) n+l(n + 10),51010101010 S = 99 9(n +10) X (?) n. n 10(V)求和 W C 0 + 4C1 + 7C 2 + 10C 3 + + (3n + 1)Cnn n nnn解析 a 3n +1为等差数列,a + a a + a -, n0 n 1n 1而Ck Cnk，.运用反序求和方法是比较好的想法，nn/ W 二 C0 + 4Ci + 7C
7、2 hf (3n 2)Cn-1 + (3n + 1)Cn ，n n nnn二(3n + 1)Cn + (3n 2)Cn-1 + (3n 5)C-2 ff 4C1 + Connnn nW 二(3n + 1)Co + (3n 2)C 1 + (3n 5)C-2 ff 4C1 + C0 ,nnnn n+得 2W (3n + 2)(C0 + C1 + C2 + + Cn) (3n + 2) x 2n, n n nn.W (3nf 2) x 2n1.评析例1 讨论了数列求和的各种方法，关键是准确抓住数列通项公式呈现的规律，然后选定 种求和方法，并作出相应的变换.例 2解答下列问题：(I) 设 f (x)
8、 、x2 9(x 2),求u ;1 nn 1n(3) 若a 1,k 1,2,3,，求数列a 的前n项和S ;k u f unnkk f1解析(1)f -1( x) = 丫 x 2 + 9u 1(2). 2), nn 1 u2是公差为9的等差数列,nu2 9n 一 &/ u 0, u x 9k 一8,nnn ak 网8 + 器k +1 9(E-E),1 . S (、10 1) + G-19 2),3xn 1 n bn1求和：W b b b b + b b f (1) n-1 - b b .n 1 22 33 4n nf1解析 b 二 + b bn 3n-1n=b b二-(4n2 + 8n + 3
9、),3n n+19当 n 为偶数时W 二 4(12 - 22)+ (32 -42)+ + (n -1)2 - n2 n98+ g(l- 2) + (3 - 4) + (n -1) - n4 8 n二-3 + 7 +11 + + (2n -1) - x 99 21 一一(2n 2 + 6n);94 x - x - (2n + 2) - 4 n9229当 n 为奇数时W 二 9(12 -22) + + (n-2)2-(n-1)2 + n2 n981+ 9(1 - 2) + (3 - 4) + + (n - 2) - (n -1) + n + 彳48n -11=-3 + 7 +11 + (2n -
10、3) + n 2 + -丁 + n + -41 n -18 n +111=x x 2n + n2 + x + = (2n2 + 6n + 7).9229239解析例2中的(I)、(II)两题是以数列求和为主要内容的数列综合试题，需要熟练运用求和方 法，问题(I)中运用了“裂项”求和方法，而问题(II )中灵活运用了拆项与并项的求 和方法.a + 1例3已知数列。的各项为正数，其前n项和S满足S = (f )2， nn n 2(I) 求a与a (n 2)之间的关系式，并求a 的通项公式;nn -1n1 1 1(II) 求证+ 0,. a a= 2(n 2),. a 是公差d = 2 的等差数列,
11、nnn -1a 二 2n -1;n而4a 二(a +1)2 n a 二 1,1 1 11 1 1 1= + + +1222n211(II) S = n2,. + +nS SS12n11 2),n -1 n111/. + +SS12=2 - - 2.n1+（1-2）+（2- 3）+（占作出了一个评析例3 是十分常见的数列型的不等式证明问题，由于运用了数列求和的思想 巧妙的放缩变换，然后与数列求和挂上了钩.训练题、选择题1在数列a 中,n,若其前n项和S = 9，则项数n为n2A9数列 1，（1+2）B10C99D100(1+2+22),(l+2+22+2nT),的前 n 项和等于A 2 n+1 - nB2n+1 - n - 2C2n - n -1D 2 n - n - 23设 S = 1 - 2 + 3 - 4 + + (-1) n-1 n,贝 US+ S + Sn1733504B01A11数列1,的前n项和为1 + 2 1 + 2 + 31 + 2 + 3 + + nC11D2()B n ( n + 2)C n(n + 1)D n(2n + 1),则数列 b 的前 n 项和为nA. n 2nA.n + 12nB.-n + 124TA.n(n + 1)Dn(n + 1)5.数列 a 的前nn 项和 S = 2n 1,则a2n1+ a 2 + a 2
