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1、第四节 方程根的性质本部分主要解决一元二次方程根的性质的问题，其中包括根的判别式、根与系数的关系（韦达定理）、二次三项式的因式分解。一、方程的根及其与系数的关系一元二次方程有实根，两实数根解为x1，x2，则根与系数关系为 ，二、二次三项式分解一元二次方程有实数根，两实根为x1，x2，则二次三项式三、例题分析：例1. 试确定m的值，使方程（1） 有两个不同的正根；（2） 有一正根一负根（3） 有两个不同的大于1的根；（4） 两根互为倒数（5） 一根为另一根的3倍例2. 若方程只有3个不相等的实根，求a的值例3. 关于x的两个方程和，其中一个方程的两根是另一个方程的根的倒数，求a、b例4. 设的两
2、实根为、，若以3、3为根的一元二次方程仍是，求所有这样的一元二次方程。习题：1. 已知方程，不解方程，求作一个新方程，新方程的根分别是原方程各根的平方。2. 已知、是方程的两个实根，试计算：，3. 若方程有两个实数根x1，x2，求的最小值4. 若解分式方程时产生增根，求实数m的取值范围。5. 当a在什么范围内取值时，方程有且仅有两个相异实根6. 已知首项系数不相等的两个二次方程及（a、b是正整数）有一个公共根，求的值7. 求使关于x的方程的根都是整数根的所有整数a8. 已知方程的根是a、c，方程的根是b、d，其中a、b、c、d为不同的实数，求a、b、c、d的值课内练习：一、填空题：1. 关于x
3、的方程有整数解，则a = _；2. 因式分解：_；3. 已知x1，x2是方程的两个实根，则_，_4. 已知关于x的方程恰有一个实数解，则a = _；5. 关于x的二次方程有两个不等的实数根，则实数m的取值范围是_；6. 若x1，x2是方程的两个实根，则的最小值为_；7. 已知集合P = x|，Q = x|x0，若PQ，则a的取值范围是_；8. 若关于x的实系数一元二次方程与至少有一个公共的实数根，则a = _；二、解答题：1. 试确定m的值，使（1）有两个不相等的实数根；（2）一根为另一根的两倍2. 已知关于x的方程有两个实根，问：是否存在这样的p，使得两根的平方和为1？若存在，请求出p的值，若不存在，请说明理由3. 实数a、b、c满足方程组，试求方程的根4. 设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程的两根，当满足这样条件的三角形只有一个时，试求a的取值范围。
