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1、南京工程学院教案【教学单元首页】第 2630 次课 授课学时 10学时 教案完成时间： 2009.8 章、节第七章 采样控制系统的分析第一节 采样控制系统的基本概念第二节 采样控制系统的数学基础第三节 采样控制系统的脉冲传递函数第四节 采样控制系统的动态性能分析第五节 采样控制系统的稳定性分析第六节 采样控制系统的稳态误差分析主要内容这一单元主要完成第七章采样控制系统的分析的教学内容。首先介绍采样控制系统的基本概念，采用一些实例说明连续系统和离散系统的区别。第二节介绍采样控制系统的数学基础，即Z变换和Z反变换、差分方程及求解的基本运算。第三节介绍采样控制系统的数学模型脉冲传递函数的建立，开环和
2、闭环脉冲传递函数以及带零阶保持器的脉冲传递函数的求取。第四节介绍采样控制系统输出响应的求取和系统的性能分析。第五节介绍采样控制系统的稳定的条件和系统稳定性判断方法。第五节介绍采样控制系统的稳态误差求取，分析系统的稳态误差与系统结构和参数的关系。目的与要求本单元的教学目的是让学生通过这一章的学习了解和掌握离散控制系统数学模型建立的基本方法以。要求学生了解离散系统性能分析的数学工具z变换和z反变换，掌握离散系统求取输出响应的基本方法。了解离散系统的性能与闭环极点的关系，掌握离散系统稳定性判断的方法，并能根据系统的动态结构图求出系统的稳态误差。重点与难点本单元的重点：数学模型的建立在自动控制系统性能
3、分析中的重要性，数学模型脉冲传递函数求取的方法和过程，离散系统的输出响应的求取和稳定性判断的方法。 本单元的难点：离散系统动态输出响应的求取。 教学方法与手段主要采用多媒体教学，在有些数学运算时加板书解释。第七章 采样控制系统分析 本章主要讨论信号的采样和复现；介绍变换和离散系统的数学模型差分方程、脉冲传递函数；分析离散系统的动态、稳态性能。第一节 采样控制系统基本概念 一、采样控制系统的基本结构 采样控制系统的一般结构如图所示。图中，是连续信号，采样开关将离散化，变成一脉冲序列（*表示离散化）。作为脉冲控制器的输入，控制器的输出为离散信号。 系统中，采样开关的作用如图所示。在系统中，如果用计
4、算机来代替脉冲控制器，实现对偏差信号的处理，就构成了数字控制。系统的结构如图所示。 二、采样过程与采样定理1采样函数的数学表示 连续信号 经过采样后变成了一脉冲序列。其数学表达式为 = 采样函数可求得 当时，可得 = 考虑到离散信号仅在采样时刻有效，故又可写为 = 2采样定理 连续信号经过采样后，变成一个脉冲序列，由于只含有采样点上的信息，丢失了各采样时刻之间的信息，故为了使离散信号不失真地复现原信号，必须考虑采样角频率与中含有的最高次谐波角频率之间的关系。通过对与的频谱分析可知，为了复现原信号的全部信息要求采样角频率必须满足如下关系： 这就是采样定理，又称香农（）定理，它指明了复现原信号所必
5、须的最低采样频率。三、 采样信号的复现保持器是将采样信号准确地复现为原来的连续信号的装置。在采样控制系统中最简单、应用最广泛的是零阶保持器。零阶保持器是采用恒值外推原理，把前一采样时刻的采样值一直保持到下一个采样，零阶保持器的输入、输出特性： 对式求拉氏变换，得零阶保持器的传递函数为 零阶保持器的频率特性为 幅频特性为 = 相频特性为 tg 第二节 采样控制系统的数学基础 在连续系统的性能分析中，用微分方程来描述系统的运动规律，用拉氏变换作为求解的工具。而对采样系统进行分析时，常以差分方程作为数学模型，用变换作为求解的工具。一、变换的定义对连续函数 求拉氏变换，定义为对离散函数求拉氏变换，应写
6、成 引入新变量 则有 称为的变换， 并记作 二、求变换的方法1级数求和法根据定义式 例 求下列常用函数的Z变换 （1） 单位阶跃函数 已知 （） （2）指数函数 已知 ,= （） （7-15） （3）单位脉冲函数 已知 ,= =1 （4）单位斜坡函数 已知 ,= 其z变换为 = （） （5）正弦函数 已知 =,= 其z变换为 = 用同样的方法，可求得的z变换为 2部分分式展开法 （） 即 基于 得 例 已知 ，求原函数的z变换。 解 例 已知，求原函数的变换。 解 根据 得 3留数计算法 式中 为的重极点数。 例 求 的变换 解 =例 试求的变换解 三、变换的基本定理1. 线性定理设 ，和为常
7、数，则有 2滞后定理设 则有 例 求。 解 设 3超前定理设 的变换为 则有 例 求 的变换解 设 4位移定理已知的变换为 则有 例 求 的变换。解 设 则 5初值定理 6终值定理 四、反变换从函数求出原函数的过程称为反变换，记作 由于只含有连续函数在采样时刻的信息，因而通过反变换，只能求得连续函数在各采样时刻的数值，而不是连续函数。1长除法 设 按的升幂级数展开 可知 得采样后的离散信号 例 求的反变换。解 用的分子除以分母，得 例 求 的反变换。解 得 2部分分式法 先将除以，然后将/展开为部分分式，再把展开式的每一项都乘上后，分别求反变换并求和。 例 求的反变换。 解 则 例 求 的反变
8、换。 解 得 3留数法 例 ，求z反变换。 解 根据留数计算公式 式中 ，； ， = = 五、差分方程及其求解1. 差分的定义 离散函数两数之差为差分。差分又分为前向差分和后向差分，如图所示。为方便起见，令 s 一阶前向差分定义为 二阶前向差分定义为 阶前向差分定义为 一阶后向差分定义为 二阶后向差分定义为 阶后向差分定义为 2差分方程 一般系统的差分方程表达式为 = （ 线性定常用差分方程的求解除了可用z变换法外，还适合用迭代法。用迭代法求解差分方程有其特殊的优越性，它特别适合于利用计算机进行递推求解。 例 一阶系统的数学模型为一阶微分方程 用差分方程近似表示微分方程 令 得 其中 得 例 将PID控制器的微分方程离散化，使之转变成差分方程。 解 PID控制器的微分方程为 因为 () 得 = 计算机控制系统中广泛使用着增量式PID控制算法。 = 式中 ， 可得到常用的位置式PID控制的递推算法： 3用变换解差分方程 用变换求解差分方程与用
