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1、 多元函数积分学100题（附答案）一计算下列二重积分1. ，其中； 2. ，其中；3. ，其中；4. ，其中；5. ，其中是由及所围成的闭区域；6. ，其中是由及所围成的闭区域；7. ，其中是由及所围成的闭区域；8，其中是由及所围成的闭区域；9. ，其中；10. ，其中是由及所围成的闭区域；11. ，其中；12. ，其中；13. ，其中；14. ，其中；15. ，其中是由及围成的第一象限内的闭区域；16. ，其中；17. ，其中；18. ，其中；19. ，其中；20. ，其中是由两条双曲线及围成的第一象限内的闭区域；21. ，其中；22. ； 23. ；24. 设是以点为顶点的三角形区域，求；
2、25. 设，求，其中；26. ，其中是由及所围成的闭区域；27. ，其中是直线及围成的闭区域；28. ，其中；29. ，其中是由圆及所围成的平面区域；30. ，其中是由曲线及所围成的平面区域；二 计算下列三重积分31. ，其中是由和三个坐标平面所围成的空间闭区域；32. ，其中是由所围成的空间闭区域；33. ，其中是由所围成的空间闭区域；34. ，其中：；35. ，其中：；36. ，其中是由所围成的立体区域；37. ，其中：；38. ，其中是由所围成的立体区域；39. ，其中是由所围成的第一象限内的闭区域；40. ，其中：；41. ，其中是由所围成的空间闭区域；42. ，其中：；43. ，其中
3、是由球面所围成的空间闭区域；44. ，其中是由曲面及平面所围成的空间闭区域；45. ，其中：；三重积分的应用46. 求球面与抛物面所围立体的体积；47. 求球面被柱面所截那部分面积；48. 平面薄片所占的区域由抛物线及直线围成，面密度，求质心坐标；49. 设球体：各点处的密度等于该点到原点的距离的平方，求该球体的质心；50. 设均匀平面薄片所占区域由抛物线围成，求转动惯量.四、计算下列曲线积分51. ，其中是从原点到点的一段弧； 52. ，其中是上从到的一段弧； 53. ，其中是直线及抛物线所围成的区域的整个边界；54. ，其中是摆线；55. ，其中为摆线的一拱：；56. ，其中是曲线上从到的
4、一段弧；57. ，其中是折线,其中；58. , 其中是抛物线上从点到点的一段弧；59. ，其中是圆周及轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；60. ，其中为圆周上对应于到的一段弧；61. ，其中为圆周（按逆时针方向绕行）；62. ， 是曲线上对应于到的一段弧；63. ，其中是从点到点的一段直线；64. ，其中是有向闭折线段，其中；65. ，其中是曲线上从点到点的一段弧；66. ，其中为三顶点的三角形正向边界；67. ，为正向星形线；68. ，其中为圆周上由点到点的一段弧；69. ，其中是圆周，方向为逆时针方向；70. 证明与路径无关，并计算其值；71. 验证是某个函数的全
5、微分，并求；72. 解全微分方程；73. 设曲线积分与路径无关，其中具有连续导数，且，试计算的值；74. 设是曲线上从到的一段弧，把对坐标的第二型曲线积分化为对弧长的第一型曲线积分；75. 把对坐标的第二型曲线积分化为对弧长的第一型曲线积分，其中为圆周上由点到点的一段弧；五、计算下列曲面积分76. ，其中为平面在第一卦限中的部分；77. ，其中为平面在第一卦限中的部分；78. ，其中为球面上的部分；79. ，其中为锥面被柱面所截得的部分；80. ，其中为锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面；81. ，是以原点为中心，边长为的正方体的整个表面的外侧；82. ，其中是上半球面在圆柱面之外部分的外侧
6、；83. ，是旋转抛物面介于平面及之间部分的下侧；84. ，其中是平面 在第四卦限部分的上侧；85. ，其中为锥面被平面所截下在第一卦限部分的下侧；86. 化第二型曲面积分为第一型曲面积分，其中 是平面平面在第一卦限部分的上侧；六、高斯公式和斯托克斯公式87. ，其中为平面所围立体表面的外侧；88. ，其中为球面的外侧；89. ，其中为上半球体的表面的外侧；90. ， 是介于平面之间的圆柱体的表面的外侧；91. ，其中为平面所围立体表面的外侧；92. 求向量场穿过球面：流向外侧的通量；93. ，其中为上半球面的上侧；94. ，其中为圆周，若从轴的正向看去，取逆时针方向；95. ，其中为椭圆，若
7、从轴的正向看去，取逆时针方向；96. ，其中是以为顶点的三角形边界曲线，它的正向与这个三角形所在平面上侧的法向量之间符合右手法则；97. ，其中为圆周，若从轴的正向看去，取逆时针98. ，其中是曲线，若从轴的正向看去，取顺时针方向；99. 求向量场沿闭曲线（从轴的正向看取逆时针方向）的环流量，其中为圆周；100. 求向量场的旋度.参考答案： 1. ， 2. ， 3. ， 4. ，5. ， 6. ，7. ， 8. ， 9. ， 10. ， 11. ， 12. ， 13. ，14. ，15. ，16. ，17. ，18. ，19. ，20. ，21. ，22. ，23. ，24. ，25. ，26
8、. ，27. ， 28. ，29. ，30. ， 31. ， 32. ， 33. ， 34. ，35. ， 36. ，37. ，38. ， 39. ， 40. ， 41. ， 42. ， 43. ，44. ，45. ， 46. ，47. ，48. ，49. ，50. . 51. ， 52. ， 53. ， 54. ，55. ，56. , 57. , 58. , 59. , 60. , 61. ，62. ， 63. ， 64. ， 65. ，66. , 67. , 68. , 69. ,70. , 71. ，72. ， 73. ， 74. ，75. ，76. , 77. , 78. , 79. ,80. , 81. ， 82. ， 83. ， 84. ，85. ，86. , 87. , 88. , 89. , 90. , 91. ， 92. ， 93. ， 94. ，95. ，96. , 97. , 98. , 99. , 100. .
