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1、 应用泛函分析1 绪论泛函分析的定义：研究无穷维线性空间上的泛函数与算子理论的一门分析数学。2 代数基础2.1 集合与映射集合部分几个定义：集合 有限集 无限集 空集 单点集 属于 包含 真包含 相等（所有的） （存在） 集类（元素是集合） 子、交、并、补集 差集： 对称差：笛卡儿积：对于两个集合有，一般的定义关系R为笛卡尔积的一个子集，关系aRb 的定义域domR是A的子集，值域rangeR是B的子集。特殊的二元关系：设A是一个集合，是某种关系，则自返关系：若对称关系：若；传递关系：若；反对称关系：若；偏序关系：若R是自返、传递和反对称的关系；称A为由R规定的偏序集合；全序关系：若R是偏序关
2、系，且任意，要么，要么；等价关系：若R是自返、传递和对称的关系。全序子集：A的任一子集B按关系R仍是一个偏序集合，即是B上的偏序关系；若B按关系R还是一个全序集合，则称其为A的一个全序子集；末位元素：设，若对均有xRb，则称b为A的末位元素；初位元素：设，若对均有aRb，则称a为A的末位元素；最大元素：设，对任意且，则称b为A的一个最大元素；最小元素：设，对任意且，则称a为A的一个最小元素。上界，上确界 下界，下确界Zorn引理设A是一个非空偏序集合，如果A的每个全序子集都有上界，则A至少含有一个最大元。Zermelo选择公理设是互不相交集合构成的积累，则存在一个集合A满足；对任意i，严格有一
3、个元素。设，a的一个等价类的定义为；一个集合A的非空子集所形成的集类，其中，I是指标集；如果；对任意，；则称R为A的一个划分。 定理：定义在集合A上的任意等价关系R，确定了A对等价类的一个划分；反之，A的任一划分也定义了A上的一个等价关系。集合A按等价关系R形成的等价类所构成的集类称为A关于R的商集，记为A/R。映射部分映射（也称函数、变换、算子）指的是集合A到集合B的一个三元组（f,A,B）满足1、是由A到B的一个关系；2、任意，使得；（定义域中每个元素必须在值域有所对应）3、任意，如果有，使得，则必有。（允许一对多）几个记法：映射 定义域 值域对于任意也称为f在x值，或x关于f的像；从而也
4、称为值域R（f）为f的像集。f的逆像即可理解为f的反函数。f的图像定义为 （它是序对构成的集合）满（值域满的）、一对一（定义域上每个值对应值不等）和一一对应（唯一性）的概念几个映射类型：常值映射（值域中只有一个值）恒等映射（定义域等于值域）f在子集上的限制：设，若对任意，均有，则称g是f在子集上的限制，记为；f在集合上的延拓：若存在是一个映射，满足，即g在A上的限制为f，此时称g是f在上的延拓；（限制和延拓是两个共存的概念）投影映射：设，对于任意，均有，称f为对第i个分量的投影映射。图1 二维坐标下投影映射定义示意图（其中f为对第1、2个分量的投影映射）复合映射：（即复合函数）左、右可逆映射：
5、若存在映射，使得，此时称g为f的左可逆映射；若使得，则称g为f的右可逆映射；若一个映射满足左右可逆映射，成为该映射为可逆映射，记为。（注意：逆像是对集合的定义，而可逆是对映射的定义）定理：是可逆映射，当且仅当它是一一对应的，且此时其逆唯一且可逆。若f是右可逆的，当且仅当它是满的。若f是左可逆的，当且仅当它是一对一的。（可用矩阵的模型来理解）集合的势对等：两个集合间存在一个可逆映射，记为AB。可数集：能与自然数集对等的集合。对等关系的性质：1、 满足自返、传递和对称性。（与等价关系联系）2、 Bernstein定理：设A、B是两个集合，AY，；且BY，则必有AB。图2 Bernstein定理的理
6、解势：把互相对等的集合归为一类，称其具有相同的势。任何有限势集相同的充分与必要条件是它们具有相同的元素个数。所有与0,1区间上实数集合对等的集合的势称为连续统的势，记为C或 （阿列夫）集合序列的极限集合序列：设，是任意集合，集类A=称为一个集合序列，简称集列。集合序列上限集：（无限多个集合的公共元素）下限集：（除去有限个集合后其它集合的交集）若一个集列上限集与下限集相等，即，则称A为集列的极限，称集列收敛到A，记为若集列对任意，均有（或），则称是单调增（或单调减）集列，统称为单调集列。（单调集列收敛）怎么理解记忆上界、上确界、下界、下确界？首先满足存在一个偏序关系在集合A上，且有一个A的子集B
7、。所有上面的概念都是在B中讨论。形象的理解上界和上确界：假设存在一个氢气球被放在地面上，当然如果没有任何阻碍它将飞起来，这可以视作是一个对应关系。现在我们不断的加入一些木板（其高度视为上界）阻止氢气球腾飞，当氢气球回到地面上时，这时我们加的木板高度视为上确界。同样可以形象的理解下界和下确界：假设存在一个篮球放在高楼上，如果将它抛出，它将下降，这也可以视作对应关系，。现在我们不断加入一些木板（视作下界）阻止篮球下落，当篮球回到高楼上时，这时我们加的木板高度为下确界。图1 上确界和下确界的形象理解划分和等价类的理解和联系等价类指的是一个集合，划分指的是一个集类。等价类是划分中的一个元素。但是需要满
8、足前提是等价关系，即笛卡儿积的子集R满足自返、等价、传递关系。 满、一对一及一一对应的关系的理解。以上的定义都是对于映射中定义域和值域中元素的关系。满是指值域中的每个元素都有定义域中元素对应。一对一是值定义域中的每个元素只对应一个值域中的元素。一一对应是二者的结合。 图2 满、一对一、一一对应三种关系的表现2.2 抽象系统代数运算与抽象系统二元代数运算（简称为代数运算）是指由某一子集D到A的映射。定义在集合A上的一个代数运算称为封闭的，如果对任意均有。在这里，我觉得有必要对几个概念进行一个区别：关系、映射和代数运算。关系：集合A到B的笛卡尔积的子集。映射：满足“多对一”的关系。代数运算：由二维
9、笛卡尔积到一维的映射。对于两个简单抽象系统是两个简单抽象系统，如果对，映射具有如下特性则称H是由S到一个同态映射。若存在则称其为自同态的。若表示的同态映射还满足一一对应，则称该映射同构。类似自同态定义有自同构。抽象代数系统集合A上定义了一个二元代数运算“*”，如果这个代数运算是封闭的。则称抽象系统为一群胚。如果这一群胚代数运算还满足结合律，则称S为一半群。对于一个半群,如果，使得，则称e为S的单位元；对于,若有使得，称b为a的逆元，记为。含有单位元且其中所有元都有逆元存在的半群称为群。若群中的运算满足交换率，则称该群为交换群，或Abel群。定义加法群，满足性质：其中定义零元0，逆元（负元）-.
10、足性质：、其中所有元都有逆元存在的半群成为应的关系；设A至少含有两个元的集合，其上定义了两种代数运算：加法运算“+”和乘法运算“*”，如果1、是一个加法群；2、是一个半群；3、乘法关于加法是分配的，即对于任意的有则称抽象系统是一个环，其中环的零元为加法零元。类似前面的定义，有交换环，子环。设是一个含有单位元的交换环，是一个子环且含单位元，任取，定义其中；n是非负整数；称其为上x的n次多项式，为多项式系数；可简记为,而（S中的单位元）。再定义，为上x的多项式集合。对于，,中加法的定义为：其中乘法定义为其中（整数相加），。显然，对上述加法和乘法是封闭的，同时可以验证是S的子环，称为多项式的环，记为
11、P(x)。设A是至少含有两个元素的集合，其上定义了两种代数运算：加法和乘法如果1、是一个环，具有零元；2、乘法运算是交换的，具有单位元3、中的任意元有逆元；则称抽象系统是一个域。小结：这一节理论繁杂，相互关联，依次递进，所以作图如下，便于理解。图3 抽象代数系统中概念的相互关联性线性空间设是一个加法群，是一个域，具有一个单位元1；假定在上重新定义了个数乘运算“*”，即对任意有，且满足1、;2、;3、;4、则称抽象系统是域F上的一个线性空间。其中A的元成为向量，A中定义的运算称为向量的加法，S中的元成为标量，其上的运算称为标量加法和数乘。类似前面有线性子空间，零子空间，平凡线性子空间的定义。设X
12、是数域F上的一个线性子空间，是一组向量，如果存在不全为零，使得，则称这组向量线性相关；否则，必有，则称这组向量线性无关，或线性独立。维数：线性空间中最大无关向量个数，记为。（教材例2.2.20值得考虑，涉及到了拓扑学的概念）抽象控制系统一节涉及的知识属于控制论，跟我所学习的目的无关，所以跳过未看。3 度量空间3.1 度量空间及其点集设X是一个集合，如果映射，满足如下特性：1、（非负性）（零距离与点重合的等价性）2、（对称性）3、（三角不等式）则称为X上的一个度量（距离函数）；称为x与y之间的距离。而抽象系统称为一个度量空间，或赋距离空间。理解：从二维到一维的一个映射，最普遍的是测量两点之间的距
13、离，将两点的位置信息，转化为了距离信息。定义中的名字由来应该就在于此。若赋距离空间还是线性的，称为线性度量空间或赋距离线性空间。对于是其上的一个线性空间，定义度量其中为任意向量，则称按上述定义的距离为欧几里得距离（欧氏距离），对应的空间为欧氏空间。对于任意，集合按“”是一个偏序集合，从而可定义为到子集A的距离；同样，可定义称为子集的直径。若，称A为有界集，若则称A为无界集；若,定义此时M=0。点：度量空间中的元素。点集：度量空间中点的集合。三类点集：（是一个度量空间，为实数）（开球，也称为邻域）（闭球）（球面）分析：不能简单将上述的理论与三维立体空间或者欧氏空间进行对比。例如对X在时球面为空集
14、。而这对于三维立体空间无法想象。设是一个度量空间，为子集，若存在，使得的邻域，则称为A的一个内点，若均为A的内点，则称A为中的一个开集。设A是度量空间中的任意点集，定义A中所有内点的集合为A的内部。定义开集A在度量空间中的补集为闭集。理解：联系数轴上的闭区间，开区间等的定义理解上述概念，可证明开球是开集，闭球不是闭集，而球面是闭集。设A是度量空间（原书印刷错误为“空集”）中的一个点集，如果对任意，均有，则称是A的一个聚点。而如果存在使得，则称是A上的一个孤立点。若对任意x上式均成立，则A称为孤立点集。理解：对于（-2，2）上即为一个聚点，且区间内部还有无穷个聚点。所以我们还可以看出聚点不一定要在A中。另外注意聚点和内点的区别，内点说明的是点的邻域特性，是包含关系；而聚点说明的是邻域与点集之间的交集运算。内点一定是A中的点，而聚点则不一定。设A为度量空间中的一个点集，A的导集定义为A中聚点的集合。而A的闭包定义为。理解：显然A的闭包为闭集。现在援用书上的一个例子说明这些关系，设。显然；而0，1为其中的孤立点。（教材上面的孤立点的写法我认为不够严密，按照定义，孤立点应该为点而非点集，所以在0，1外面加大括号欠妥）定理：度量空间中，有限个闭集的并集为闭集
