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1、2012学年第一学期 高等代数(A卷) 一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设为阶方阵，下列运算正确的是（ D）(A) (B) (C） (D) 若可逆，则分析：，矩阵乘法不满足交换律，故两者不一定相等；同理，；2、设是矩阵，其秩为5，则齐次线性方程组 （ C ）(A) 基础解系恰有5个解向量 (B) 基础解系恰有6个解向量 (C) 基础解系恰有1个解向量 (D) 只有零解分析：基础解系所含向量个数：n(未知数个数)-r（A的秩）0=6-5=13、若矩阵的秩为，则下列结论正确的是（ D ）(A)的任何级数不超过的子式都不等于零 (B)的任何级数不超过的子式都等于零(C)的任何级
2、数大于的子式都不等于零 (D)的任何级数大于的子式都等于零分析：细读课本134页定理6.4、 设是n维列向量，则线性无关的充要条件是（ D ）(A) 向量组中任意两个向量线性无关(B) 存在一组不全为0的数，使得(C) 向量组中存在一个向量不能由其余向量线性表示(D) 向量组中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5、设都是阶正定矩阵，则下列结论正确的是（ C ）(A) 是正定矩阵 (B) 是正定矩阵 (C) 是可逆矩阵 (D) 是实对称矩阵分析：正定二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设和是两个多项式,若，则；证明 由于，所以存在多项式使得 于是 故 . 2、六阶行列式中，这
3、一项该带 正 号；分析：该项符号为3、设为三阶方阵，为的伴随矩阵，且有，则 ；分析：，故=4、设的一个极大线性无关组是，则 ；分析：依题意线性相关，从而5、若二次型是正定的，则满足条件：。三、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“”，否则打“”）1均为阶复对称矩阵，则合同的充要条件是；（ ）2、含有个未知数的非齐次线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩等于；（ ）分析：3、均为矩阵，若，则或者；（ ）分析：矩阵乘法不满足交换律，消去律，即4、如果向量组线性相关，则每个都可以表示为其余向量的线性组合；（ ）分析：向量组线性相关，则至少有一个都可
4、以表示为其余向量的线性组合；5、若多项式和的最大公因式唯一，则。（ ）四、简答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分）1、设，又，求矩阵以及它的逆矩阵。解：因为，所以有， （2分）而 （4分）， （6分）所以，注意：（1）利用为分块对角矩阵（2） （3）设A为n阶矩阵，涉及的题目充分利用以下公式：2、求阶行列式的值。解 ：行列式特点：每一行的和相等为“1” , 每一列的和相等为“1” （4分） （8分）3、讨论取何值时，线性方程组 (1) 有唯一解；（2）无解； （3）有无穷多个解，并求出此方程组的通解。解：方程组的系数行列式为 （1分）（1） 当且 时，方程组有唯一解; （2分）（2） 时
5、，阶梯型，此时，方程组无解; （4分）（3）时，最简型，此时方程组有无穷多解， （6分）由最简型的一般解为（为自由未知量），所以所求通解为为任意常数。 （8分）4、设有二次型（1） 写出二次型的矩阵；（2） 把二次型经过非退化线性替换化为标准形，并写出所用的非退化线性替换。解： (1) 二次型的矩阵为 （2分） （6分）令 则非退化线性变换 （7分）把二次型化为标准形 。 （8分）说明：A作行变换而E不变，接着”A和E”同时作和行变换相同的列变换，当A化为对角元为“1，-1”的对角阵时，E化为“C”五、证明题（本大题共4小题，每小题7分，共28分）1、证明：如果均是正定矩阵，则也是正定矩阵。证
6、： 因为A和B 都是正定矩阵，所以A和B 都是实对称矩阵，又因此是实对称矩阵。 （2分） 由A和B 都是正定矩阵知A和B都和E合同，即存在可逆阵 使得； （3分）构造分块阵，则C 可逆，且 （4分） （6分） 即与单位阵合同，结合知是正定矩阵。 （7分）2、设和是两个同型矩阵，证明：秩秩+秩。证明方法1： 设矩阵的列向量组为，其极大无关组为 ， （1分）矩阵的列向量组为，其极大无关组为 ， （2分）则， （3分）， （4分）故，即的列向量组可由线性表示 （6分）则秩=秩+秩 （7分）注意：A组可由B组表示证明方法二：由课本166页结论，秩秩+秩=秩+秩负号不会改变行列式是否为零的性质，因此不会改变矩阵的秩，故 秩=秩3、用代表，代表，设，证明：证明：因为所以这表明是与的一个公因式；又 而，由课本习题一题13结论可知，即 式左右两边相乘知是是与的组合，故由课本习题一题8结论可知是与的最大公因式。 因此，。 4、向量组线性相关的充要条件是至少有一个向量可以被它前面的线性表示。证： “必要性” 因为向量组线性相关，所以存在不全为零的数，使得 （1分） 不妨设中最后一个不为0的数是，于是有即可以被它前面的线性表示。 （4分）“充分性” 因为向量组中至少有一个向量可以由它前面的向量线性表示，不妨设 ， （5分） 即 （6分） 所以向量组线性相关。 （7分）
