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1、东北师范大学附属中学网校（版权所有 不得复制）期数： 0511 SXG3 029学科：文科数学 年级：高三 编稿老师：李晓松审稿老师：杨志勇 同步教学信息预 习 篇预习篇二十二 高三文科数学总复习十七 等差数列【学法引导】等差数列是一个重要的知识点，考查题型既有选择题、填空题，又有解答题；难度既有容易题、中等题，也有难题. 客观题突出“小而巧”，主要考查性质的灵活运用及对概念的理解，主观题都有“大而全”，着重考查函数方程、等价转换、分类讨论等重要的数学思想.【基础知识概要】1等差数列的定义如果一个数列中从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫等差
2、数列的公差，通常用d表示.由定义可知d=an+1an , 这也是证明或判断一个数列是等差数列的依据.2等差数列的通项公式在等差数列an中，an= a1+(n1)d.3等差中项如果a, A, b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.由等差数列定义可知 Aa=bA，所以A=，反之，如果A=，那么2A=a+b，Aa=bA, 那么a, A, b成等差数列.结论：an是等差数列2an+1=an+an+2(nN*)4等差数列的性质设an是公差为d的等差数列，那么an=am+(nm)d或d=.如果m, n, l, kN+且m+n= k+l，则am+an=ak+al, 反之不成立，例：常数列（特殊地，当m+
3、n=2p时，am+an=2ap）. 即在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和.数列为常数)是公差为d的等差数列若bn也是公差为d的等差数列，那么为常数)也是等差数列，公差为下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,组成的数列仍为等差数列，公差为md.5等差数列的前n项和公式Sn= na1+由于Sn=na1+=,当d0时此式可看作二次项系数为，一次项系数为（），常数项为0的二次函数其图象为抛物线上的点集，坐标为（n, Sn）(n), 因此，由二次函数的性质立即可以得出结论：当d0时，Sn有最小值，当d0时，Sn有最大值思考：由上可知若an是等差数列，则Sn=A
4、n2+Bn(A、B是常数)，反之，若Sn=An2+Bn，是否可以推出an是等差数列？【应用举例】例1 已知a5=11，a8=5，求等差数列an的通项公式.解：a8=a5+3d，an=a8+(n8)d=5+(n8)(2)=212n.例2 已知an是等差数列，若a1a5+a9a13+a17=117，求a3+a15.解：a1+a17=a5+a13 ，a9=117.a3+a15=2a9=234.例3 已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p, q是常数，且p0，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？分析：由等差数列的定义，要判断an是不是等差数列，只要考察anan1(n2)是不
5、是一个与n无关的常数.解：取数列an中的任意相邻两项an1与an(n2).anan1=(pn+q)p(n1)+q=pn+qpn+pq=p,它是一个与n无关的常数，所以an是等差数列，且公差是p，a1= p+q，所以这个等差数列的首项是p+q，公差是p.评析：由本题可得出结论an是等差数列an=pn+q(p,q是常数)例4 已知三个数成等差数列，其和为15，首末两数的积为9，求这三个数.解：由题意可设三个数为xd，x，x+d.三个数的和为15,xd+x+x+d=15，即x=5.(5d)(5+d)=9,25d2=9，d=4.这三个数为1，5，9或9，5，1.评析：对于项数不多的等差数列，应充分利用
6、等差数列中项设元. 如：三个数成等差数列，可设三个数为xd, x, x+d; 四个数成等差数列，可设四个数为x3d, xd, x+d, x+3d. 类似地可推广到更多个数的情形.例5 等差数列an的前n项和Sn= m，前m项和Sm=n(mn)，求前m+n项和Sm+n解法一：设an的公差为d ， Sn=na1+ 按题意得Sm=ma1+ 得 （mn）a1+ 即 解法二： 设Sx=Ax2+Bx (x) Am2+Bm=n An2+Bn=m 得A(m2n2)+B(mn)=nm mn, A(m+n)+B=1,故A(m+n)2+B(m+n)= (m+n)即 Sm+n= (m+n)评析：a1，d是等差数列的基
7、本元素，通常是先求出基本元素，再解决其它问题，但本题关键在于求出了，这种设而不解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴【强化训练】一、选择题1数列xy, x, x+y,的通项公式是（ ）Aan=x+ny Ban=x+(n1)yCan=x+(n2)y D以上都不对2“a+c=2b”是“a、b、c成等差数列的”（ ）A充分但不必要条件 B必要但不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3设a、b的等差中项为c，a、c的等差中项为d, 而b、c的等差中项为e，则d、e的等差中项为（ ）Aa Bb Cc Da+b4若ab，两个等差数列a, x1, x2, b与a, y1, y2, y3, b的
8、公差分别为d1和d2, 那么的值为（ ）A B C D5在等差数列an中a5+a6+a7+a8+a9= 450, 则a3+a11的值为（ ）A45 B75 C180 D3006数列an的前n项和Sn=2n2+n1，那么它的通项公式是（ ）Aan=4n1 Ban=4n+1C D二、填空题7若an是等差数列，公差d=2,an=11,Sn=35, 则a1=_.8已知数列an为等差数列，a4+a7+a10+a13+a16=20, 则S19=_.9在等差数列an中，如果S10=100,S100=10, 那么S110=_.10一个等差数列的前四项的和为27，最后四项的和为61，所有项的和为143，则该数列的项数为_三、解答题11在等差数列an中，已知a1=83,a4=98,问这个数列在300到500之间共有多少项？12已知等差数列的公差是正数，且a2+a5+a8=9，a3a5a7= 21，求数列an的通项公式.参考答案一、1C 2C 3D 4C 5C 6C 二、71或3 876 9110 1013三、11由a4=a1+3d得d=5，从而an=5n+78，令300an500，解得45n84，且nN,故在300到500之间，共有8445+1= 40项.12由a2+a8=a3+a7=2a5，知a5=3，故由 解得或（舍去，公差为正数）由此可得数列an的通项公式an=2n7（N*）.
