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1、解三角形应用举例教案1解三角形应用举例教案。课题导入1、复习旧知复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、设置情境请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题,“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以
2、,有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。讲授新课(1)解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解例题讲解(2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=。求A、B两点的距离(精确到0。1m）启发提问1：ABC中，根据已知的边和对应角,运用哪个定理比较适当?启发提问2:运用该定理解题还需要那
3、些边和角呢?请学生回答。分析:这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角,AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角,应用正弦定理算出AB边。解：根据正弦定理，得 = AB = = = = 65.7(m）答:A、B两点间的距离为65。7米变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？老师指导学生画图,建立数学模型。解略：a km例2、如图,A、B两点都在河的对岸（不可到达）,设计一种测量A、B两点间距离的方法。分析：这
4、是例1的变式题,研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点.根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=，ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中,应用正弦定理得 AC = = BC = = 计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离 AB = 分组讨论：还没有其它的方法呢?师生一起对不同方法进行对比、分析。变式训练:若在河岸选取相距40米的C、D两点,测
5、得BCA=60,ACD=30，CDB=45，BDA =60略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20评注：可见，在研究三角形时,灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复,如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。解三角形应用举例二教案教学过程.课题导入提问：现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.讲授新课范例讲解例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高度AB的方法.分析:求AB长
6、的关键是先求AE，在ACE中,如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD = a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得AC = AB = AE + h = AC+ h = + h例4、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50。已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD（精确到1 m）师:根据已知条件，大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生讨论思考）若在ABD中求CD,则关键需要求出
7、哪条边呢？生：需求出BD边。师：那如何求BD边呢？生：可首先求出AB边，再根据BAD=求得。解:在ABC中, BCA=90+,ABC =90，BAC=- ,BAD =。根据正弦定理, = 所以 AB =解RtABD中，得 BD =ABsinBAD=将测量数据代入上式，得 BD = = 177 (m)CD =BD BC177-27。3=150(m)答:山的高度约为150米。师：有没有别的解法呢?生：若在ACD中求CD，可先求出AC.师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC?生：同理，在ABC中,根据正弦定理求得。（解题过程略）例5、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南
8、侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角为8,求此山的高度CD。师:欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？生：在BCD中师：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长？生：BC边解:在ABC中, A=15，C= 25-15=10，根据正弦定理， = ， BC = 7.4524(km）CD=BCtanDBCBCtan81047（m）答:山的高度约为1047米1、 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30,测得塔基B的俯角为45,则塔AB的高度为多少m？答案：20+（m
9、)2.2解三角形应用举例三教案教学过程.课题导入创设情境提问：前面我们学习了如何测量距离和高度,这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题.然而在实际的航海生活中，人们又会遇到新的问题,在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。.讲授新课范例讲解例6、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54。0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到0。1，距离精确到0。01n mil
10、e)学生看图思考并讲述解题思路教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角ABC,即可用余弦定理算出AC边,再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB。解：在ABC中，ABC=180 75+ 32=137，根据余弦定理，AC= = 113。15根据正弦定理, = sinCAB = = 0.3255，所以 CAB =19。0, 75 CAB =56。0答：此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15n mile补充例2、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/
11、小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x， AB=14x,AC=9,ACB=+= (14x) = 9+ (10x) -2910xcos化简得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去）所以BC = 10x =15,AB =14x =21，又因为sinBAC =BAC =38，或BAC =141（钝角不合题意，舍去）,38+=83答：巡逻艇应该沿北偏东83方向去追,经过1.4小时才追赶上该走私船。评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.课时小结解斜三角形应用题的一般步骤：（1)分析:理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解
