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1、精品自学考试资料推荐浙江省2018年1月自考微分几何试题课程代码：10022一、判断题（本大题共 6小题，每小题2分，共12分）判断下列各题，正确的在题后括号内打“V”，错的打“X”。1. 圆柱螺线的曲率和挠率都是常数。（）2. 挠曲线上点挠率一定不等于零。（）3. 平面曲线的曲率一定为零。（）4. 球面上的测地线一定是大圆弧。（）5. 在局部范围内，可展曲面与平面之间可建立一个等距变换。（）6. 设P为曲面上的抛物点，贝【J P点的杜邦（Dupin）指标线是一条非退化的抛物线。（）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1. 曲率
2、与挠率成比例的曲线为 。2. 半径为R的圆的自然方程是。3. 曲面在某一点处有，这种点为曲面的脐点。4. 设曲面的第一基本形式为匸Edu2+Gdv2，则u曲线和v曲线的位置关系为 。5. 仅由第一基本形式所确定的曲面的性质在 变换下保持不变。6. 设曲面在点P处有两个异号的主曲率，则按高斯曲率的符号分类，此点是曲面的 三、完成下列各题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1. 求 r（t）=sin t+t,1-cos t的正常点。2. 求曲线r（t）=sin t,cos 2t,t2在t=0处的切线方程。3. 求曲面r=ucos v,usin v,u+v的第一基本形式。4. 在第一基本形式为I
3、=du2+sinh2udv2的曲面上，求方程为 u=v的曲线的弧长公式。5. 证明曲面上一点（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率的最大和最小值。E26. 证明：对曲面 r=r(u1,u2)有 r11 r2=F1- 2精品自学考试资料推荐四、完成下列各题(本大题共4小题，每小题10分，共40分)1. 求曲线 r(t)=3t-t3,3t2,3t+t3的挠率。2. 证明：如果一条曲线的所有法平面包含常向量e,那么这曲线是平面曲线或直线。3. 求曲面2z=x2+y2在点0,0,0处的高斯曲率和平均曲率。tt4. 证明正螺面 r=ucos v,usin v,av与悬链面 r=acos h a cos 0 ,acosha sin 0 ,t建立等距对应为tu=asinh a ,v= 0 .
