《北师大版高数选修2-2第8讲：数学归纳法(教师版).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版高数选修2-2第8讲：数学归纳法(教师版).doc（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学归纳法_1、数学归纳法的原理及应用.2、数学归纳法的思想实质及在归纳推理中发现具体问题的递推关系.一、 数学归纳法： 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察归纳猜想证明”的思维模式，就显得特别重要。 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n = n 0时命题成立；（2）（归纳递推）假设n=k（）时命题成立，证明当时命
2、题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。题型一、用数学归纳法证明恒等式例1、例1数学归纳法证明132333n3= n2（
3、n1）2证明： 当n=1时，左边=13=1，右边=，故等式成立 假设n=k（，且k1）时等式成立。即132333k 3=k2(k+1)2成立则当n=k1时，132333k 3(k+1)3= =即当n=k1 时等式也成立综合，对一切，等式都成立 题型二、用数学归纳法证明不等式例2、归纳法证明（n1，且）证明： n=2时，左边=右边，不等式成立. 假设n=k（， k2）时不等式成立，即成立则当 n=k1时，=（）（）（）（）=即当n=k1时不等式也成立综合，对一切大于1的自然数n，不等式都成立题型三、用数学归纳法证明几何问题例4平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,
4、求证:这n个圆把平面分成个部分.题型四、用数学归纳法证明整除问题例4、 用数学归纳法证明32n28 n9能被64整除证明： 当n=1时，322819=64 显然能被64整除，命题成立 假设n=k（ k1，）时命题成立即32k28k9能被64整除则当n=k1时，32（k1）28（k1）9=932k28 k89=9（32k28 k9）64 k64 32k28 k9与64均能被64整除， 32（k1）28（ k1）9能被64整除 即当n=k1时命题也成立综合，对一切，32n28n9能被64整除题型五 归纳、猜想、证明例8：是否存在常数a，b，c使等式对一切自然数n都成立，并证明你的结论。分析：可先把
5、条件式对分别列出方程，试求a，b，c值，再用数学归纳法证明。解：假设存在a，b，c使题设等式成立，那么令得到下面方程组：解得下面用数学归纳法证明当时，题设等式成立，即有：（1）当时，式成立（2）假设成立，即：那么当时故当时式成立。综上，可知当时，等式成立。一、选择题1用数学归纳法证明11)时，第一步应验证不等式()A1n22”这一命题，证明过程中应验证()An1时命题成立Bn1，n2时命题成立Cn3时命题成立Dn1，n2，n3时命题成立答案D解析假设nk时不等式成立，即2kk22，当nk1时2k122k2(k22)由2(k22)(k1)24k22k30(k1)(k3)0k3，因此需要验证n1,
6、2,3时命题成立故应选D.8已知f(n)(2n7)3n9，存在自然数m，使得对任意nN*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()A30B26C36D6答案C解析因为f(1)36，f(2)108336，f(3)3601036，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推测最大的m值为36.9已知数列an的前n项和Snn2an(n2)，而a11，通过计算a2、a3、a4，猜想an()A.B.C.D.答案B解析由Snn2an知Sn1(n1)2an1Sn1Sn(n1)2an1n2anan1(n1)2an1n2anan1an(n2)当n2时，S24a2，又S2a1a2，a2a3a2，a4a3.由a11，a2，a3，a4猜想an，故选B.10对于不等式n1(nN)，某学生的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设nk(kN)时，不等式成立，即k1，则nk1时，(n2)证明当n2时，左0右，不等式成立假设当nk(k2，kN*)时，不等式成立即成立那么nk1时，当nk1时，不等式成立据
