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1、2.2 一元二次不等式的解法 教学目标掌握用二次函数的图像解一元二次不等式的解法。了解一元二次不等式、一元二次方程和二次函数之间的联系，体会数形结合、化归的数学思想。掌握用区间表示集合的方法；学习含参数的一元二次不等式的解法；初步会用不等式解决一些简单的实际问题。重点难点 一元二次不等式的解法。利用二次函数的图像解一元二次不等式。用区间表示不等式组的解集；会用不等式解决一些简单的实际问题。教学过程一、新课引入1实例在交通繁忙的路段，交通管理部门出于车辆安全和畅通的考虑，对汽车的行驶速度有一定的限制，超速行驶被视为违规。因为汽车在遇到紧急情况时，即使司机马上刹车，但由于惯性的作用，刹车后的汽车仍
2、会继续往前滑行一段距离后才会停下，这段距离叫做刹车距离。车速越快，刹车距离越长，事故发生的可能性越大。实验表明，某种型号的汽车当速度每小时小于100千米时，若行驶在水泥路面上，则汽车的刹车距离s（米）与汽车的车速x（千米/时）有如下关系：s=0.00526x+0.000078x(x100)。在某次交通事故中，测得一肇事汽车的刹车距离大于45.5米，问这辆汽车的车速每小时至少为多少千米。根据题意，得0.00526x+0.000078x45.5。- 2提出问题 是一个整式不等式，它只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的不等式叫做一元二次不等式。一元二次不等式的一般形式是：如何解一元二
3、次不等式？ 二、解法探究为了得到一元二次不等式的一般解法，不妨先研究一个简单的一元二次不等式 的解法。解法一：原不等式可化为 ，它等价与将问题转化为我们学过的一元一次不等式组。于是可得到原不等式的解集 解法二、利用数轴 ，1、3将数轴分成三个部分，-13x当时， 所以 当时， 所以 当时， 所以可得原不等式的解集 还可得到解集为。 解法三、利用二次函数图像求此不等式的的解集也可看作求二次函数取正值时的取值范围，即求该二次函数的图像在轴上方时的取值范围。yx0-13我们知道，二次函数 的图像是一条开口向上的抛物线，它与轴有两个交点，由方程的解可得交点的横坐标分别是 ， ，容易看出，当时上述函数的
4、图像在轴上方， ；当时，上述函数的图像在轴下方，即 ，于是可得不等式解集为。 说明解法一中解两个一元一次不等式组中涉及的“或”和“且”的关系可用集合中的交集和并集来说明。解法三利用二次函数的图象更加直观，清晰，是高中阶段解一元二次不等式的主要方法。解法一用到“化归”的数学思想方法，解法三用到“数形结合”的数学思想方法，例1利用二次函数图像解下列不等式。 （1） （2）说明点评中强调一元二次方程，一元二次不等式和二次函数之间的联系。由学生归纳如何利用二次函数的图像解二次项系数为正的一元二次不等式的主要步骤：求出相应的一元二次方程的解；画出相应的二次函数的图像；写出不等式的解集。第2小题函数的图像
5、与x轴相切，教师可提示学生思考如果图像与x轴相离时的不等式的解的情况。填表：(提供空表) 二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根 R R R 抢食图大大小小，大小小大大鱼在外，小鱼在内；大鱼丢脸，小鱼要脸；大鱼撑饱，小鱼空肚；提问：如何解二次项系数为负的一元二次不等式？说明特别注意和时不等式的解集。二次项系数为负的一元二次不等式可通过转化为二次项系数为正的一元二次不等式或者直接用开口向下二次函数的图像来解。特别注意不等式的解集为空集或全集时的条件。提问：对照表格，如何解不等式和？一元二次不等式的解法：（1）二次项系数化正 (2)解方程 （3）由上表得到解集解决新课引入时的
6、实际问题利用上面介绍的一元二次不等式的解法，可得式的解为x93.00或x0(3)9x+6x+10 (4)4x-x5 (5)2x+x+10 (6)4x-x4答案 （1） （2）（3） （4） （5） （6）三、 学习如何用区间来表示不等式的解集1用区间来表示不等式的解集 设a，b都为实数，并且a0的解为,求实数的值. 解:(1)(x+1)(x-3)0,即x-2x-30是一个解集为(-1,3)的一元二次不等式. (2)解法一:可得方程ax+bx+3=0的两个根为-,3,且a0.所以运用根与系数的关系得：-=且=-,即. 解法二:方程即的解为,所以. 说明：要让学生知道解集为(-1,3)的一元二次方
7、程有无数个,形如ax-2ax-3a0的解集为(-2,3),求不等式cx+ax-b0的解集. 解答 可得方程ax+bx+c=0的两个根为-2,3且a0.所以， 即 ，不等式cx+ax-b0的解集为(-,+)? 解:函数y= x+(k-1)x+4的图像是开口向上的抛物线.因为不等式x+(k-1)x+40的解集为(-,+),所以整条抛物线在x轴上方,此时方程x+(k-1)x+4=0的0.解得k(-3,5). 所以当-3k0的解集为(-,+). 说明：例3等价于下列问题：问题1：“当k为何值时，函数y=x+(k-1)x+4的图像全部在x轴的上方”。问题2：“当k为何值时,关于x的一元二次不等式x+(k
8、-1)x+40的解集为空集?”问题3：“当k为何值时,关于x的一元二次不等式-x+(1-k)x+40的解集为R?”问题4：“当k为何值时，不等式x+(k-1)x+40对于一切实数x都成立？” 注意：理解一元二次不等式，一元二次方程和二次函数之间的关联。 例7.：当k为何值时，不等式2kx+kx-0对于一切实数x都成立？ 解：（1）当时，对于一切实数x都成立； （2）当时，整个二次函数y=2kx+kx-图象在轴下方，即二次函数y=2kx+kx-图象开口向下，与轴不相交，所以， 即 综合（1）（2）得：当时，不等式2kx+kx-0对于一切实数x都成立。 说明：一些与一元二次不等式有关的问题，可以转
9、化成相应的二次函数的问题，利用二次函数的图像，通过判断图像的开口，与x轴的交点情况来帮助解决问题。七、不等式的简单应用 例8.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应用税收外，还征收附加税。已知某种酒每瓶销售价为70元，不收附加税时，每年大约产销100万瓶;若征收附加税,每销100元要征附加税r元(叫做税率r%),则每年的产销量将减少10r万瓶.如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元,那么r应怎样确定? 解:设产销量为每年x(万瓶),则销售收入每年为70x(万元),从中征收附加税额为70xr%(万元),并且x=100-10r。 由题意知 70(100-10r)r%112 即r
10、-10r+160 解得 2r8。 所以，税率定在2%至8%之间，年征收附加税额将不低于112万元。说明由题意，应该用不等式解题，若用方程来列式则不能准确的表达题目的意思。需要注意不等式70(100-10r)r%112与方程70(100-10r)r%=112所表达的实际意义是不一样的。 巩固练习：距离码头南偏东60的400千米处有一个台风中心。已知台风以每小时40千米的速度向正北方向移动，距台风中心350千米以内都受台风影响。问从现在起多少小时后，码头将受台风影响，码头受台风影响的时间大约多久。 解：以码头为原点，正东、正北方向分别为轴、轴建立直角坐标系。则台风中心的坐标为A，小时后到达B处。 即 ，整理得： 解得：，因此，从现在起3.75小时后，码头将受台风影响，码头受台风影响的时间大约2.5小时。 作业布置 课本 练习2.2(1)；练习2.2(2) 练习2.2(3)练习册 2.2补充练习(1)已知集合A=x,集合B=x,求AB与AB.(2)不等式2的解集是R ,求实数k的取值范围.(3)已知函数f
