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1、第九章 定 积 分练 习 题1定积分概念习 题1 按定积分定义证明：2 通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：（1） （2）（3） （4）2 牛顿一菜布尼茨公式 1计算下列定积分：（1）； （2）； （3）；（4）； （5） （6）（7） （8）2利用定积分求极限：（1） （2）（3） （4） 3证明：若f在a,b上可积，F在a,b上连续，且除有限个点外有F（x）=f(x),则有 3 可积条件1 证明：若T是T增加若干个分点后所得的分割，则2 证明：若f在a,b上可积，.3.设fg均为定义在a,b上的有界函数。证明：若仅在a,b中有限个点
2、处则当f在a,b上可积时，g在a,b上也可积，且3 设f在a,b上有界，证明：在a,b上只有为其间断点，则f在a,b上可积。4 证明：若f在区间上有界，则。 4 定积分的性质1.证明:若f与g都在a,b上可积,则 其中是T所属小区间i中的任意两点,i=1,2,n.2.不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小: (1)(2)3.证明下列不等式: (1) (2); (3) (4)4.设f在a,b上连续,且f(x)不恒等于零,证明5.设f与g都在a,b上可积,证明 在a,b上也都可积.6.试求心形线上各点极径的平均值.7.设f在a,b上可积,且在a,b上满足证明在a,b上也可积.8.进一步证明积分
3、第一中值定理(包括定理9.7和定理9.8)中的中值点(a,b).9.证明:若f与g都在a,b上可积,且g(x)在a,b上不变号,M、m分别为 f(x)在a,b上的上、下确界,则必存在某实数(mM),使得 10.证明:若f在a,b上连续,且则在(a,b)内至少存在两点x1,x2,使f(x1)= f(x2)=0.又若这时f在(a,b)内是否至少有三个零点?11.设f在a,b上二阶可导,且.证明:(1) (2)又若则又有 12.证明:(1) (2)5 微积分学基本定理定积分计算(续)习 题1 设f为连续函数，u、v均为可导函数，且可实行复合fu与fv证明： 2设f在a,b上连续，证明F”3求下列极限
4、： （1） （2）4计算下列定积分： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）（10） （11） （12）5.设f在-a,a上可积。证明：（1）若f为奇函数，则（2）若f为偶函数，则6设f为（-，+）上以p为周期的连续周期函数。证明对任何实数a，恒有 7设f为连续函数。证明：（1）（2） 8设J（m,n）为正整数）。证明： 并求J(2m,2n).9证明：若在（0，）上f为连续函数，且对任何a0有 ， 则为常数。10设f为连续可微函数，试求 并用此结果求11设为a,b上严格增的连续曲线（图9-12）。试证存在（a,b），使图中两阴影部分面积相等。12设f为0，2上的
5、单调递减函数。证明：对任何正整数n恒有 13证明：当x时有不等式 14证明：若f在a,b上可积，则有 15.证明：若在a,b上f为连续可微的单调函数，则存在使得 （提示：与定理9.11及其推论相比较,这里的条件要强得多, 因此可望有一个比较简单的,不同于9.11的证明.）6 可积性理论补叙1. 证明性质2中关于下和的不等式(3).2. 证明性质6中关于下和的极限式 .3. 设 试求在0,1上的上积分和下积分;并由此判断在0,1上是否可积.4. 设在a,b上可积,且上是否可积?为什么?5. 证明:定理9.14中的可积第二充要条件等价于“任给都有.6.据理回答:(1) 何种函数具有“任意下和等于任
6、意上和”的性质?(2) 何种连续函数具有“所有下和（或上和）都相等”的性质？(3) 对于可积函数，若“所有下和（或上和）都相等”，是否仍有（2）的结论？7本题的最终目的是要证明：若在a,b上可积，则在a,b内必定有无限多个处处稠密的连续点，这可用区间套方法按以下顺序逐一证明：（1）若T是a,b的一个分割，使得S（T）s(T)0，则 为上的严格增函数，如果要使在上为严格增，试问应补充定义（0）=？3、设在上连续，且证明 4设是定义的上的一个连续周期函数，周期为p证明 5 证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。6 证明施瓦茨（Schwarz）不等式：若和
7、g在a,b上可积，则 7 利用施瓦茨不等式证明：（1）若在a,b上可积，则 （2）若在a,b上可积，且（x）m0，则 （3）若、g都在a,b上可积，则有闵可夫斯基（Minkowski）不等式： 8证明：若在a,b上连续，且（x）0，则 9设为上的连续减函数，（x）0；又设 证明为收敛数列。 10证明：若在a,b上可积，且个个有（x）0，则，（提示：由可积的第一充要条件进行反证：也可利用习题7题的结论。）第十章 定积分的应用练习题1 平面图形的面积1求由抛物线y=x2与y=2x2所围图形的面积。2求由曲线y=与直线x=，x=10，y=0所围图形的面积。3抛物线y2=2x把圆x2+ y28分成两部
8、分，求这两部分面积之比。4求内摆线x=acos3t，y= asin3t（a0）所围图形的面积（图107）。5求心形线r=a（1+cos）（a0）所围图形的面积。6求三叶形曲线r=asin（a0）所围图形的面积。7求由曲线=1（a、b0）与坐标轴所围图形的面积。8求由曲线x=tt3，y=1t4所围图形的面积。9求二曲线r= sin与r= cos所围公共部分的面积。10求两椭圆与（a0，b0）所围公共部分的面积。2 由平行截面面积求体积1如图1013所示，直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截，试截得楔形体的体积。2求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体积：（1）y=sin x，0x，绕x轴；（2）x
9、=a（tsin t），y=a（1cos t）（a0），0t2，绕x轴；（3）r=a（1+cos ）（a0），绕极轴；（），绕轴。3已知球半径为r，验证高为h的球缺体积V=h2（r）（hr）。4求曲线x=a cos 3t，y= sin3 t所围平面图形（图107）绕x轴旋转所得立体的体积。5导出曲边梯形0yf（x），axb绕y轴旋转所得立体的体积公式为V=2 6求0ysin x，0x所示平面图形绕y轴旋转所得立体的体积。3 平面曲线的弧长与曲率1求下列曲线的弧长（1）y=x3/2，0x4；（2）=1；（3）x=acos3t,y=asin3t(a0), 0t2；（4）x=a(cos t+tsin
10、t),y=a(sin ttcos t) (a0), 0t2；（5）r=asin(a0), 03；（6）r=a(a0), 02.2*求下列各曲线在指定点处的曲率：（1）xy=4，在点（2，2）；（2）y=ln x，在点（1，0）；（3）x= a(tsin t),y=a（1cos t） (a0),在t=的点；（4）x=acos3t,y=asin3t(a0),在t=的点。3求a、b的值，使椭圆x=acos t，y=bsin t的周长等于正弦曲线y=sinx在0x2上一段的长。4设曲线由极坐标方程r=r（）给出，且二阶可导，证明它在点（r，）处的曲率为K=。5用上题公式，求心形线r=a（1+cos）（a0）在=0处的曲率、曲率半径和曲率圆。6证明抛物线y=ax2+bx+c在顶点处的曲率为最大。7求曲线y=ex上曲率最大的点。4 旋转曲面的面积1求下列平面曲线绕指定轴旋转所得旋转曲面的面积：（1）y=sin x,0x,绕x轴；（2）x=a(tsin t),y=a(1cos t)(a0),0t2,绕x轴；（3），绕y轴；（4）x2+(ya)2=r2(ra），绕x轴。2设平面光滑曲线由极坐标方程r=r(),（，0，r（）0）给出，试求它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积计算公式。3试求下列极坐标曲线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积：（1）心形线r=a(1+co
