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1、实用标准文档八上培优5 半角模型 方法 ：截长补短图形中，往往出现90套45的情况，或者120套60的情况。还有套的情况。求证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是：截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等，翻折分割构全等。截长法，补短法。勤学早和新观察均有专题。勤学早在第49页，新观察在第34页，新观察培优也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。这些题大同小异，只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两次全等。下面是新观察第34页14题1.如图，四边形ABCD中，A=C=90，D=60，AB=BC，E、F，分别在AD、CD上，且EBF=60求证：EF=AE+CF2.如图2，在上题中，若E
2、、F分别在AD、DC的延长线上，其余条件不变，求证：AE=EF+CF3.如图 ，A=B=90, CA=CB=4, ACB=120，ECF=60，AE=3, BF=2, 求五边形ABCDE的面积.4如图1在四边形ABCD中AB=AD，B+D=180，E、F分别是边BC、CD上的点，且BAD=2EAF（1）求证：EF=BE+DF；（2）在（1）问中，若将AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图2所示，试探究EF、BE、DF之间的数量关系3.如图3，在四边形ABDC中，B+C=180，DB=DC，BDC=120，以D为顶点作一个60的角，角的两边分别交AB、AC于E、F
3、两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明勤学早第40页试题1.（1）如图，已知AB=AC, BAC=90，MAN=45, 过点C作NCAC交AN于点N，过点B作BM垂直AB交AM于点M，当MAN在BAC内部时，求证：BM+CN=MN; 证明: 延长MB到点G，使BG=CN,连接AG，证ABGACN(SAS),AN=AG,BAG= ,NAC. LGAM=GAB + BAM=CAN+ BAM=45= LMAN,证AMNAMG(SAS), MN= MG= BM + BG= BM十NC.证明二：(此证明方法见新观察培优第27页例3)(2)如图,在(1)的条件下，当AM和AN在
4、AB两侧时，(1)的结论是否成立?请说明理由.解:不成立，结论是:MN=CN一BM,证明略.基本模型二 120套 602. 如图，ABC中,CA=CB,ACB=120,E为AB上一点，DCE=60,DAE= 120，求证:DE=BE证明:(补短法)延长EB至点F,使BF=AD,连接CF,则CBFCAD，CEDCEF,.DE- AD=EF- BF= BE.3.如图,ABC中,CA=CB,ACB=120，点E为AB上一点，DCE=DAE= 60，求证:AD+DE= BE.证明:(截长法)在BE上截取BF=AD,连接CF，易证CBFCAD，CEDACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=
5、BE.比较：新观察培优版27页 例4如 图，ABC是边长为1的等边三角形，BDC是顶角，BDC= 120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC于M、N, 连结MN, 试求AMN的周长. 分析:由于MDN=60,BDC=120，所以BDM十CDN=60，注意到DB=DC，考虑运用“旋转法”将BDM和CDN移到一起，寻找全等三角形。另一方面,AMN的周长AM+AN + MN= AB+ AC+MN-BM- CN. 猜想MN= BM+CN,证三角形全等解决.新观察培优68页 例5 如图， 点A、B(2,0)在x轴上原点两侧, C在y轴正半轴上, OC平分ACB.(1)求A点坐标
6、;(2)如图1, AQ在CAB内部，P是AQ上一点， 满足ACB=AQB, AP=BQ. 试判断CPQ的形状，并予以证明;(3)如图2. BDBC交y轴负半轴于D. BDO=60, F为线段AC上一动点，E在CB延长线上，满足CFD+E=180. 当F在AC上移动时，结论: CE+CF值不变; CE- CF 值不变，其中只有一个正确结论，请选出正确结论并求其值.分析:(1)由A0CBOC得AO= BO=2, A(- 2,0).(2)由ACPBCQ得CP=CQ.(3)由BDBC,BDO=60，可证得等边ABC.由角平分线和DB_BC的条件,运用对称性知DA AC, 连结DA, 加上条件CFD+E
7、=180，可证得ADFBDE, 于是CE+CF=2AC= 2AB= 8.基本模型三 2套4.(1)如图1，在四边形ABCD中， AB=AD,B+D=180, E,F分别是BC,CD上的点，且EAF= BAD, 求证:EF= BE+ DF;(2)如图2,在(1)的条件下,若将AEF绕点A逆时针旋转，当点E,F分别运动到BC,CD延长线上时，则EF,BE,DF之间的数量关系是EF=BE- DF解:(1)EF=BE+DF, 延长FD到点G，使DG=BE,连接AG,证ABEADG (SAS), .AE = AG,BAE=DAG，EAF=BAD,GAF=DAG+DAF=BAE+DAF= BAD- EAF
8、= EAF, EAF= GAF,证AEFGAF(SAS),.EF= FG, FG=DG+ DF=BE+ DF,EF=BE +DF;(2)EF=BE DF.外地试题：4探究：如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF=45，连结EF，求证：EF=BE+DF应用：如图，在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，AB=AD，B+D=90，EAF=BAD，若EF=3，BE=2，则DF= 5通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请补充完整原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF=45，连接EF，求证：EF=BE+DF（
9、1）思路梳理AB=AD，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合ADG=B=90，FDG=ADG+ADC=180，则点F、D、G共线根据 SAS，易证AFG AFE，从而得EF=BE+DF；（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，BAD=90点E、F分别在边BC、CD上，EAF=45若B、D都不是直角，但当B与D满足等量关系 B+D=180时，仍有EF=BE+DF，请给出证明；（3）联想拓展如图3，在ABC中，BAC=90，AB=AC，点D、E均在边BC上，且DAE=45，猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程7（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=
10、AD，B=D=90，E、F分别是边BC、CD上的点，且AE=AF，EAF=BAD现有三种添加辅助线的方式：延长EB至G，使BG=BE，连接AG；延长FD至G，使DG=BE，连接AG；过点A作AGEF，垂足为G；选择其中一种方法添加辅助线，求证：EF=BE+FD；（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，若B+D=180，EAF=BAD，证明（1）中结论是否还成立？（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，B+ADC=180，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且EAF=BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明8（1）如图1，在四边
11、形ABCD中，AB=AD，B=D=90，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD求证：EF=BE+FD（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，B+ADC=180，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且EAF=BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明半角模型问题放到平面直角坐标系中是什么样子？
12、1如图1，在平面直角坐标系中，AOB为等腰直角三角形，A（4，4）（1）求B点坐标；（2）如图2，若C为x正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角ACD，ACD=90，连接OD，求AOD的度数；（3）如图3，过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰RtEGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式AM=FM+OF是否成立？若成立，请说明；若不成立，说明理由文案大全解：（1）如图所示，作AEOB于E，A（4，4），OE=4，AOB为等腰直角三角形，且AEOB，OE=EB=4，OB=8，B（8，0）；（2）如图所示，作AEOB于E，DFOB于F
13、， ACD为等腰直角三角形，AC=DC，ACD=90即ACF+DCF=90，FDC+DCF=90，ACF=FDC，又DFC=AEC=90，DFCCEA（AAS），EC=DF=4，FC=AE，A（4，4），AE=OE=4，FC=OE，即OF+EF=CE+EF，OF=CE，OF=DF，DOF=45，AOB为等腰直角三角形，AOB=45，AOD=AOB+DOF=90；（3）AM=FM+OF成立，理由：如图所示，在AM上截取AN=OF，连ENA（4，4），AE=OE=4，又EAN=EOF=90，AN=OF，EANEOF（SAS），OEF=AEN，EF=EN，又EGH为等腰直角三角形，GEH=45，即OEF+OEM=45，AEN+OEM=45又AEO=90，NEM=45=FEM，又EM=EM，NEMFEM（SAS），MN=MF，AM-MF=AM-MN=AN，AM-MF=OF，即AM=FM+OF；【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定、等腰三角形的性质和坐标与图形性质的综合应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型2如图，直线L交x轴、y轴分别于A、B两点，A（a，0）B（0，b），且（a-b）2+|b-4|=0（1）求A、B两点坐标；（2）C为线段AB上一点，C点的横坐标是3，
