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1、1.2.1 函数的概念霸州市第四中学 常杏利一、教材分析函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节内容为函数的概念，是人教A版高中数学必修一函数及其表示的第一课。从函数的内涵来看：函数是从一个非空集合到另一个非空集合的对应，从知识的角度来说：是学生在学习了一次函数、二次函数的基础上的进一步拓展，它上承初中知识，下载高中八大函数基本性质，是派生函数知识的强大“固着点”，它与不等式，数列等知识有密切的联系。从数学思想的角度来看：函数思想是高中最重要的数学思想之一，而函数的概念是函数思想的基础，它既对前面的知识作了巩固和发展，更是学好后继知识的基础和工具。教学重点：函数概
2、念的形成，用集合与对应的语言来刻画函数；教学难点：对函数概念本质的理解；符号“y=f(x)”的含义，函数三要素的理解；发展学生的抽象思维能力 教学目标：1、根据简单的运算关系式，理解对应关系，理解函数的概念2、通过函数概念的理解，掌握函数的三要素：定义域，对应法则，值域3、通过习题的技能训练，会判断什么样的对应是函数关系，会求函数的值1目标（1）知识与技能：通过实例让学生了解函数是非空数集到非空数集的一个对应；了解构成函数的三要素、函数概念的本质，抽象的函数符号的意义；会判断怎样的对应关系是函数；给出函数的解析式，会求函数值。（2）、过程与方法：让学生经历函数概念的形成过程，函数的辨析过程,求
3、函数值的求解过程；渗透归纳推理、发展学生的抽象思维能力。（3）、情感.态度和价值观体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，在此基础上学会用集合语言来刻画函数，体会对应关系在函数概念中的作用；体验函数思想；感受数学的抽象性和简洁美。设计意图：这样设计目标，可操作性强，容易检测目标的达成度，同时也体现了素质教育的要求。2解析函数的概念是数学中重要的基础概念之一，进一步学习的不等式、数列、三角函数等无一不是以函数作为基础和研究对象的，其他学科如物理学等学科也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具，函数的教学内容蕴涵着极其丰富的辩证思想，是对学生进行辩证唯物主义观点教育的好素材，函数的思
4、想方法也广泛地诊透到中学数学的全过程和其他学科中。函数是中学数学的主体内容。它与中学数学很多内容都密切相关，初中代数中的“函数及其图象”就属于函数的内容，高中数学中的指数函数、对数函数、三角函数是函数内容的主体，通过这些函数的研究，能够认识函数的性质、图象及其初步的应用，后续内容的极限、微积分初步知识等都是函数的内容本节的函数是用初中代数中“对应”来描述的函数概念，高一学生的数学知识较少，接受能力有限，用原始概念“对应”一词来描述函数定义是合适的 二、学情分析及教学策略1.学情分析在本课的教学前，学生已经学习了函数的相关知识，有一定的基础，为本节课重新定义函数，提供了知识保证。从简单的运算入手
5、，从运算的关系式得到对应关系，从而抽象归纳出函数的概念，这样学生易于接收和理解，然后再通过实际的两个例子，让学生体会函数概念。教材是直接给出实例，要求学生从自己的探索过程中得出，对学生的抽象、归纳能力要求比较高，很多学生达不到这样的要求，所以给学生多铺台阶，让学生的抽象思维和归纳能力逐步得到提升。2. 教学策略所以在本节教学中，我将采用教师为主导，学生为主体，发展为中心的新课程理念，通过层层深入，突破难点；通过简单的运算，得出运算的三要素，运算关系也是对应关系，所以得出对应的三要素，进一步得出函数的概念，函数的对应关系和三要素。再通过课本上的实例进一步理解函数的概念，尤其是对应法则（不仅仅是明
6、确的解析式，也可以是形象直观的曲线或表格）。再通过两个例题，理解函数的对应关系，和函数值的求法。三、教学过程（一）导入 用最简单的运算得出运算关系式也是函数关系式，同时因变量和自变量之间存在对应关系，直接导出本节课的学习任务。 设计意图：用最简单的运算解释函数，使函数的概念不再抽象和难于理解。（二）学习目标1、根据简单的运算关系式，理解对应关系，理解函数的概念2、通过函数概念的理解，掌握函数的三要素：定义域，对应法则，值域3、通过习题的技能训练，会判断什么样的对应是函数关系，会求函数的值。（三）归纳探索，形成概念由1+1=2，2+1=3,3+1=4,0+1=1，（-1）+1=0，x+1=y,这
7、些运算关系式得出运算思维三要素是：对谁运算（x），运算法则，运算结果（y）。由运算关系式y=x+1,y=x2,可以得出，x与y之间存在对应关系，那么对应的三要素是什么？引导学生得出对应三要素：对谁对应（x），对应法则（f）,对应结果（y）。再进一步找出变量x与y之间的对应关系满足：都有两个非空数集A，B；两个数集之间都有一种确定的对应关系；对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y值和它对应. 记作 同时，这个运算关系式也是函数关系式。所以，这种对应也是函数。在y=x+1的关系式中，取两个非空的数集A，B， 按照对应法则f：+1，对于集合A中的每一个数，在集合B中都
8、有唯一的数和它对应，那么就称为集合A到集合B的函数，记作：y=x+1。其中x叫自变量，y叫做x对应的函数值。此时，当自变量x=1时，函数值y=2；当自变量x=2时，函数值y=3；当自变量x=3时，函数值y=4；当自变量x=0时，函数值y=1；当自变量x=-1时，函数值y=0；当自变量x=-2时，函数值y=-1；当自变量x=x时，函数值y=x+1；当自变量取值不同，对应的函数值也不同。但是在书写格式上y与y无区别，所以引入符号，与y的含义一样，但是比y表示的清楚，它能明确的看出自变量是多少。例如：；就表示当自变量x=1时，函数值是2；就表示当自变量x=2时，函数值是3；表示当自变量x=3时，函数
9、值是4；表示当自变量x=0时，函数值是1；表示当自变量x=-1时，函数值是0；表示当自变量是-2时，函数值y=-1；当自变量x=x，函数值是x+1。在这个对应中，一个x对应一个不同的y值。是个“一对一”的对应关系。1230-1-2x23410-1yf:+1AB1-1-220-33-xx12450-19y1230-1-2x-1-2-3012yf:平方f:AABB同理，教师引导学生对y=x2与，用集合与对应的语言描述一遍，加强函数概念的理解。在函数y=x2 中，； ；在这个对应中，当x=0时，y=0是一个x对应一个y值，其他的都是两个x对应一个相同的y值。在函数中；。在这个对应中，每一个x对应的y
10、值都是一样的，是对应关系中的“多对一”。由这三个例子可以用集合与对应的语言刻画出函数的概念：一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域. 由于函数是一种对应，那么，什么样的对应是函数？引导学生由前面的例子可以得出：“一对一”或者“多对一”的对应满足函数关系式。教师再及时引导，既然函数是一个整体，那构成函数定义有几个要素分别是什么？问题清晰，学生马上给出解答
11、，函数的三要素：定义域，值域和对应法则。 接下来，用课本上的两个实例进一步理解函数的概念。实例1：南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；提出问题：观察分析图中曲线，那么“面积s是时间t的函数”吗？.是不是函数，可以用函数的概念来判断。引导学生用三点来判断：是否有两个非空数集A，B；两个数集之间是否有一种确定的对应关系；对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中是否都有唯一确定的y值和它对应。引导学生看图启发，从图中明显得知，有两个非空数集。时间t的变化范围是数集，臭氧层空洞面积s的变化范围是数集.有明确的对应法则，这个对应法则就是这条曲线。这个对应法则学生不易理解。满足对于数集A中
12、的任意一个时间t,按照图中曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应.所以面积s是时间t的函数。学生会发现图像也可以来刻画函数。实例2： “八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题提出问题：“恩格尔系数是时间的函数”吗？同样，用函数的概念来判断。根据上表，学生可以自己找出，有两个非空数集。时间t的变化范围是数集，恩格尔系数y的变化范围是数集.有明确的对应法则，这个对应法则就是这个表格。这个对应法则学生相对容易理解。满足对于数集A中的任意一个时间t，根据表格，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数y和它对应。所以恩格尔系数是时间的函数。学生会发现表格也可以来刻画函数。设
13、计意图：进一步理解函数的概念，也进一步理解函数的对应关系。刻画函数可以是解析式的形式，也可以是图像或者表格的形式。对应法则也同样，可以是解析式，也可以是曲线和表格。通过三个解析式，一个图形，一个表格的例子，全面的理解了函数的概念。（四）练习内化，加深理解，例题分析例1、下列各图表示两个变量x，y的对应关系中，表示“是的函数”的图形是 分析：函数的判断用函数的概念。更简单的判断方法是：“一对一，多对一”。由于前面的实例判断了是否是函数，所以这个题目学生很快可以判断出是函数。跟踪练习：(1) 如图所示，能表示“是的函数”的是 。xy0-22xy0-222xy0-222xy0-222 A. B. C
14、 . D.(2) 集合，给出下列四个图形，其中能表示从M到 N的函数关系的是（ ）.设计意图：使学生更深刻理解函数的概念，培养学生的数学应用意识。例2、（1）已知函数，求，的值。（2）已知 函数，求的值。（3）已知函数，求，的值。分析：这个题是求函数值的问题，只要函数的解析式明确，即就是从自变量到函数值的对应关系明确，求函数值就是赋值运算，求运算结果的问题。解：（1）因为，所以 （2）因为，所以，即 所以（3）因为，这个对应关系不明确，但是可以令，这样可以直接求出，所以。同理可以令，这样可以直接求出,所以。（五）梳理反思（六）课后作业1、下列表格中的x与y能构成函数的是() x奇数0偶数y101A Bx非负数非正数 y11 C. D.x有理数
