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1、数学美欣赏第4讲3. 2 数学中的有限性 世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出平面上有无数个点，而确定一个平面仅需要三个点(当然它们不共线)就可以一副扑克牌洗多少次才算最匀净? 答案是次(并非越多越好，要知道一副扑克可能的排列方式有种，它大约为)美国哈佛大学的数学家戴柯尼斯和哥伦比亚大学的数学家贝尔发现了这一奥秘他们把张牌编上号，先按的递增顺序排列洗牌时分成两叠，一叠是，另一叠是洗一次后会出现这样的数列：，它是两组递增数列：，和，的混合此后再继续洗牌，若递增数列
2、的组数多于时，这副牌已完全看不出原来的样子(顺序)计算表明，当洗牌次数为时，可实现上述效果(多于此数，过犹不及)再如广告，商家也许以为所做次数越多，效果越好，其实不然广告费用的投入与效果，遵循经济活动中著名的曲线(下图)，从图上可以看出：投入费用在某一段区间内时，广告最为有效. 另一方面，广告播出次数以次左右为最佳美国著名广告学家克鲁曼认为：消费者是在漫不经心地接触广告：第一次只了解信息的大概，第二次开始关心广告的内容与自己是否有关，第三次便会对产品加深印象与了解广告以次为最佳，否则会无效或产生厌倦情绪和逆反心理三角形数的个数是无限的，但其中仅有六个是由同一数字组成的：()，()，()，()，
3、()，() 又如棱锥数(金字塔数)：中， 仅有()和()是完全平方数， 这是1875年吕卡斯猜测的，直至1918年才由沃森给出证明 著名的斐波那契数列，中的完全平方数仅有，和这三项(由四川大学的柯召等人于1964年解决) 由前文我们知道，方程仅有一组非平凡的整数解，；方程, 即有且仅有，和三组正整数解 1842年，卡塔兰曾猜想：和是唯一一对都是正整数幂的相继自然数(对于方幂中有一平方数的情形，被柯召于1962年解决；1976年Tiideman证明：若两相继自然数均为正整数幂，则每个正整数的幂均应小于常数，已证得). 是唯一一个夹在两个方幂52和33之间的整数，即方程仅有一组整数解而有两组整数解
4、和；仅有一组整数解 欧拉早就指出：仅有一组整数解(此与卡塔兰猜想等价)；有三组整数解，和；但无整数解(形如的方程称为Modell方程，而称为Pell方程). 多面体千姿百态、种类繁多，欧拉却从中找出了它们的共性：对于(单连通面组成的)简单多面体(表面连续变形，可变为球面的多面体), 他在其顶点数、棱数和面数之间建立了一个等式：(欧拉公式)在众多的场合下，它是适用的(上面括号内的文字已给出公式的适用范围)人们正是依据这一点证明了：正多面体(各个面都是全等的正多边形的几何体)仅有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体 此外，与它们共轭的多面体(若两多面体的棱数相同，且其中一个的
5、顶点数和面数, 恰好是另一多面体的面数和顶点数, 则这两个多面体互称共轭)也只有种, 它们每面的边数和交于一点的棱数，以及，的关系如下： 正四面体及其共轭图形(正四面体) 正六面体及其共轭图形(正八面体) 正八面体及其共轭图形 正十二面体及其共轭图形 正二十面体及其共轭图形(正六面体) (正二十面体) (正十二面体)我们也知道：平面上与单位圆(半径为的圆)相切的单位圆最多只能有个(它的证明不难)有人将问题推广到空间情形 起初(1694年), 英国天文学家格雷戈里猜测：一个单位球(半径为1的球)可与个单位球相切, 而牛顿则认为这个数目应是大约260年后(1953年)，许特和范德瓦尔登给出“至多可
6、与个单位球相切”的论证1956年, 利奇又给了一个简化证明 顺便讲一句, 上述结论与自然界的某些现象与构造是协调的十九世纪，法国结晶学家布拉维利用群论的研究成果，确定了晶体仅有种可能的结构(这一点已被现代科学所证实), 这种有限种类的结构已被无限的自然界所认可完美矩形(用规格完全不同的正方块拼成的矩形)有无穷多种，但是阶数(即组成它的小正方形个数)最小的完美矩形(阶)仅有两个(见下图，图中的数字表示该正方形边长) 考虑周长一定的毕达哥拉斯三角形的个数问题. 当个数为时，有周长是的情形存在: 三边分别为、的三角形都是周长为的毕达哥拉斯三角形；当个数为时，在周长小于的情形中仅有例，其中最小者周长为
7、，三边分别为、的三角形都是周长为的毕达哥拉斯三角形 这类问题首先是追求形式上的美(因而限制增加了)，想不到解竟是如此稀少！ 数学中的有限性的另一层意思是：“项”与“个数”最少问题比如，我们前面提到的完美矩形的阶数最小是，完美正方形的最小阶数是等此外，还有许多此类问题，比如： 正方形被剖分成锐角三角形，其个数不少于(上图(1)；钝角三角形被剖分成锐角三角形，其个数不少于(上图(2). 数学中的唯一性问题，是特殊的有限比如，两相交直线有唯一一个交点; 螺旋式三阶反幻方(各行、各列、各对角线上诸数和皆不相等)，不计其平移、旋转、反射等变换，其解是唯一的用同一种数字构造数、用同一种图构造图形，里面也含
8、有单一问题这类问题在数学中有很多比如，平面的镶嵌问题，即问：用什么样的单一图形可以铺满(无缝隙、无重叠)平面(完美正方形也是一种镶嵌)?圆显然不行，因为圆与圆之间会有空隙最简单的图形恐怕要数正多边形了可是你想过没有，是否所有的正多边形都可以? 回答是否定的其实，只有三种正多边形正三角形、正四边形、正六边形能够铺满平面 通过简单的计算， 我们不难证实这一点设正边形的内角为. 若它能铺满平面(如图), 则必有，使得. 由正多边形的内角公式, 代入上式,便有, 即，而只能是整数，这仅当时, 即为，时才可以做到(据说早在毕达哥拉斯时代, 人们对这个问题已有研究)我们知道, 平行四边形可以铺满平面, 梯
9、形也可以(两个梯形可拼成一个平行四边形). 其实, 任何同样规格的四边形也都可以铺满平面 然而, 并非所有五边形皆可铺满平面对五边形而言，能用它们铺满平面的有种(1978年, 由沙特斯奈德发现). 第1种第2种 第3种第4种第5种第6种第7种 能铺满平面的一般六边形已发现三种(1918年, 由莱因哈托发现). 铺地问题实际上也是用有限去表示无限问题的变形或另一种提法. 无限中的有限是数学中的美现象，而有限中的无限，同样是数学特有的美就拿数来讲，前文我们讲过：虽然数的概念不断扩大：但人们只须用这十个数码，至多加上某些符号，如“+”、“-”、“”(小数点)，等，就可以将全部数表达出来，正如外语中用
10、有限个字母表达无限的语汇 早在一千多年以前，我国就出现了一种广泛流传于民间的数学游戏七巧板它是我们的祖先运用面积的分割和拼补的方法，以及有相同组成成份的平面图形等积的原理研究并创造出来的七巧板是由尺寸互相关联的一对大直角三角形、一对小直角三角形、一个中直角三角形、一个正方形和一个平行四边形所组成的用七巧板可以拼出形状不同的人、动物以及其它物体的造型它对于锻炼人们的智力和培养人们的思维想象能力、审美观点是十分有益的. 甚至在今天，这种数学游戏仍具有很高的品位(比如，它已做成了游戏机软件)七巧板的制做步骤如下： (1)在所选材料(如薄纸板)上画出一个正方形，并作出它的对角线(图1) (2)分别找出
11、和的中点，连接(图2) (3)过作的垂线, 与交于，与交于(图3)(4)过作，过作(图4). 最后，沿图中所做的线段依次进行分割，即得七巧板七巧板传到西方后，国外称之为“唐图”上个世纪80年代还有人对它的数学原理、性质进行探讨，得出许多结论例如,“一副七巧板只能拼出种不同的凸多边形”等. 再回到铺地问题，其实, 有些不规则的图形也能铺满平面有意思的是, 下面的图案也可以镶嵌(铺满)平面(包括前面对称一节中给出的骑士图案也可以铺满平面，它是荷兰画家埃歇尔的作品)如前所述，这些图形从拓扑变换观点看都是等价的 我们想再强调一点，这里的有限性是指那些貌似无限而实则有限的数学现象几十年前，赫柴德征解字谜
12、算式的解(你也许以为它的解很多)，想不到它仅有一组：但验证工作(只靠手算进行)并不轻松，直到新近才由罗素等人借助于计算机(在几分钟内)完成 这里, 我们还想讲一件有趣的事公元三世纪，丢番图在其所著算术中指出：分数, , , 中任何两数之积再加，必是某个分数的平方例如, . 大约1400年后, 费马发现：整数，中任意两数之积再加都是完全平方数. 例如, . 500多年以后，有人又旧话重提1969年, 英国数学家大卫鲍特和马凯尔证明：使、中的任何两数之积再加后是完全平方数的仅有一个稍后人们发现：若是斐波那契数列，,的第项，则，中的任意两数之积再加均为完全平方数. 例如，时，于是，. 我们多次讲过,
13、 研究丢番图方程(不定方程)的目的，是研究其整数解问题. 这类方程尽管有时有许多解，但只有在某些特殊情况下的解才是整数 1942年，挪威数学家利翁格证明：方程仅有两组整数解：，和，这个结论是令人奇怪和吃惊的, 因为早在1657年，费马曾指出另外一类不定方程的解的个数问题：Pell方程在是正的非完全平方数时有无穷多个解 真是差之毫厘，缪之千里！再如，前面我们曾提到过卡塔兰猜想，它的另一种表达方式是：(，为整数)仅有，一组整数解 1967年，霍尔提出另一猜想：(，为整数，为质数)仅有，一组解此问题至今未获证(尽管这些方程模样相似) 再如，人们仅找到方程的四组整数解：、和米勒尔和伍莱特对于时的情况进
14、行了验证. 方程仅有、和三组解, 至今也未获证. 考察下面的等式(我们已说过，它们的形式是自然、顺序、流畅和优美的):，. 它们的左边分别是二项和三项连续自然数的方幂和, 右边为左边的后继连续自然数的方幂. 具有这种性质的等式还有吗? 回答却是否定的，尽管这个问题尚未完全解决 上世纪40年代末，鲍文猜测：对于自然数和来讲, 等式仅有自然数解, , 即. 唯一性在数学上有时是很重要的比如，整数的质因数分解是唯一的例如，可以唯一地分解为. 形如(是自然数)的数称为费马数. 当时，分别为、和，它们均为质数(称为费马质数). 费马曾猜想：对所有的自然数，均为质数1732年，欧拉指出,已不再是质数，从而推翻了费马猜测1880年, 兰德利发现是合数：且，. 至于有些费马数，人们仅证明了它是合数，或只找到其部分因子. 比如:
