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1、 三 由线段相等及和差建立函数解析式专项本专题的主要特点是两个变量在变化的过程中，其他某些线段也随之变化，根据图形的特征，找到这些有变化规律的线段，通过线段的相等，线段的和、差来建立函数的解析式. 这部分题目分两类：一类为线段直接的相等及和、差关系；另一类是常见的先用代数式表示相关线段，再利用线段相等及和、差关系建立函数解析式. 学生往往习惯了一般利用面积、勾股定理等写函数解析式的套路，而忽略了这一种方法,1 两条线段分别含有变量x和y，或含有x、y的代数式，利用两条线段的长度相等建立函数关系式例题：如图，在ABC中，C=90，B=30，AC=6，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上（点E、
2、F与ABC顶点不重合），AD平分CAB，EFAD，垂足为H.（1） 求证：AE=AF（2） 设CE=x，BF=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域（3） 当DEF是直角三角形时，求出BF的长 2 当一条线段由几部分组成，它们分别可以用含有x、y的代数式表示，可以用线段的和来写解析式.例题：如图，一张三角形纸片ABC，ACB=90，A=30，BC=6，沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成AC1D1和BC2D2两个三角形（如图1），将纸片AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A、D1、D2、B始终在同一直线上），当点D1与点B重合时，停止平移. 在平移过程中，C1D1与BC1交于点E，AC
3、1与C2D2、BC2分别交于点F、P.（1） 当AC1D1平移到如图2所示的位置时，猜想图中的D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想（2） 如图2，设平移距离D2D1为x，PE为y，请求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围 3 如果动点不是线段上，而是在射线或直线上，那么在写解析式的时候要分类讨论.例题：在ABC中，C=90，AC=BC=4，在射线AC、CB上分别有两动点M、N，且AM=BN，连结MN交AB于点P.（1） 如图，当点M在边AC（与点A、C不重合）上，线段PM与线段PN之间有怎样的大小关系？证明你得到的结论（2） 当点M在射线AC上，若设AM=x，BP=y，求y与x之
4、间的函数关系式，并写出它的定义域（3） 过点M作直线AB的垂线，垂足为点Q，随着点M、N的移动，线段PQ的长度能确定吗？若求出PQ的长，若不能确定，请简要说明理由4 通过对上例的学习要掌握两点：一是动点在射线上，要分在线段上和线段的延长线上两部分讨论；二是在线段上写出来的解析式与在射线上写出来的解析式是不同的，它们的区别只是符号不同. 再学习下例，突破这个难点.例题：在梯形ABCD中，AD/BC，B=90，C=45，AB=8,BC=14，点E、F分别在边AB、CD上，EF/AD，点P与AD在直线EF的两侧，EPF=90，PE=PF，射线EP、FP与边BC分别相交于点M、N，设AE=X，MN=y
5、.（1） 求边AD的长（2） 如图，当点P在梯形ABCD内部时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域（3） 如果MN的长为2，求梯形AEFD的面积 5 上例有一个容易产生混淆的地方：(2)小题求的是：当点P在梯形ABCD内部时，写函数解析式，写出来的解析式只能是点P在梯形内部时适合，隐含了点P在梯形外部是要重新写一个解析式. （3）小题求的是：如果MN的长为2，求梯形AEFD的面积. 明确告知要分点P在梯形内或点P在梯形外部两种情况分别讨论. 这是两个独立的小题,不要受思维的迁移而在(3)小题上受到局限.下例也是这样的题型，要认真思考，切实掌握.例题： 如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是
6、射线DA上的一动点，DECP，垂足为E,EFBE与射线DC交于点F.（1） 若点P在边DA上（与点D、点A不重合） 求证：DEFCEB 设AP=x，DF=y，求y与x的函数关系式，并写出函数定义域（2）当SBEC=4SEFC时，求AP的长6 有一些题目看似图形很复杂，但是认真审题，仔细分析，题目的难度不一定很大. 由于图形涉及到圆，知识的跨度大了，但只要一层一层分解地去做，问题就迎刃而解了.例题：如图，四边形ABCD中，DC/AB，AD=BC，DC=12，AB=20，tanA=，作DHAB，垂足为H，点E是线段HB上的一动点，以E为圆心，EA为半径作E，E与线段DC相交于点F，设AE=x，DF
7、=y.(1) 当EF/AD时，求AE的长(2) 求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围(3) 将ADF沿AF所在的直线翻折，点D落在平面的DE=1时，试求AE的长 7 上例中写函数解析式用到的y等于两线段的和. 看似图形中有圆，但是运用圆的知识的地方不多. 下例也有圆，写函数的解析式时用到的是线段的倍数关系，再来巩固一下.例题：已知O的半径长为1，PQ是O的直径，点M是PQ延长线上一点，以点M为圆心作圆，与O交于A、B两点，连结PA并延长，交M于另外一点C.（1） 若AB恰好是O的直径，设OM=x，AC=y，试在图2中画出符合要求的大致图形，并求y与x的函数解析式（2） 连结OA、MA
8、、MC，若OAMA，且OMA与PMC相似，求OM的长度和M的半径长（3） 是否存在M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边？若存在，试求OM的长度和M的半径；若不存在，试说明理由 练习:1 如图，RtABC中，A=90，AB=AC=2，点D是BC边的中点，点E是AB边上的一个动点（不与A、B重合），DFDE交AC于F，设BE=x，FC=y.（1） 求证：DE=DF;（2） 写出y关于x的函数关系式并写出x的定义域. 2 梯形ABCD，AD=2，DC=4，BC=6，B=67.5.（1） 如图1所示，求C的度数；（2） 点E是BC上一点（不与点C重合），过点E作EF/AB，交射线CD于点F.
9、如图2所示，当点F在线段CD上，设EC=x，DF=y，求y关于x的函数解析式及函数定义域；（3） DF=2时，求出ECF的面积. 3 如图，在直角ABC中，B=90，C=30，AC=4，D是AC边上的一个动点（不与A、C点重合），过点D作AC边的垂线，交线段BC于点E，点F是线段EC的中点，作DHDF，交射线AB于点H，交射线CB于点G.（1） 求证：GD=DC;（2） 设AD=x，HG=y. 求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域.4 如图，已知ABC是等边三角形，边长为1.（1） 操作：把一块含90角的三角板的直角顶点放在BC边上，记作D点，一直角边与AC平行，交AB于点E，另一直角边交
10、AC于点F，当D点在BC上移动时（始终符合上述条件），四边形AEDF的四个角中，除了A，EDF不变外，还有没有不变的角？如果有，它们是：_；（2） 设BD=x，DF=y，求y与x的函数解析式并写出x的取值范围；（3） 当点D在边BC上移动时，DEF与DFC能否相似？若能，请求出BD的长，若不能，请说明理由.5 如图，已知O的半径OA=，弦AB=4，点C在弦AB上，以点C为圆心，CO为半径的圆与线段OA相交于点E.（1） 求cosA的值（2） 设AC=x，OE=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；（3） 当点C在AB上运动时，C是否能与O相切？如果可能，请求出当C与O相切时的AC的长；如
11、果不可能，请说明理由.6 如图，在RtABC中，C=90，AC=4，BC=5，D是BC边上一点，CD=3，点P在边AC上（点P与A、C不重合），过点P作PE/BC，交AD于点E.（1） 设AP=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2） 当以PE为半径的E与以DB为半径的D外切时，求DPE的正切值；（3） 将ABD沿直线AD翻折，得到ABD，连结BC. 如果ACE=BCB,求AP的值. 7 在RtABC中，ACB=90，BC=30，BC=50. 点P是AB边上任意一点，直线PEAB，与边AC或BC相交于E. 点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sinEMP=.（1） 如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；（2） 如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3） 若AMEENB（AME的顶点A、M、E分别于ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长.（2011上海第25题）
