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1、惠州市2013届高三第一次模拟考试数学（理科）答案一、选择题本大题共8小题，每小题5分，满分40分题号l2345678答案CBABCDDA二、填空题；本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.9. 52 10. 60 12. 13-4 14 15. 1.【解析】因为=；，故选.2.【解析】因为,所以对应的点在复平面的第二象限. 故选3. 【解析】抛物线的准线方程为,抛物线的开口向右.设抛物线的标准方程为y则其准线方程为 解得 抛物线的标准方程为y.故选.4.【解析】由三视图可知几何体是由截面相同的半个圆锥与半个三棱锥组合而成的。圆椎底面半径为，椎体底面边长为，高为故选5.【解析】
2、向量，因为，故选6.【解析】因为服从正态分布，故选.7.【解析】因为.故选.8.【解析】设，倾斜角为，,，故选 .9【解析】等差数列中，有， ，故此数列的前13项之和为.10【解析】 ，故时，.11.【解析】由框图可知：， 周期为,，故输出的值是.12【解析】由题意知：可以是直线，也可以是平面，当表示平面时，都不对，故选正确.13.【解析】做出不等式对应的可行域如图，由得，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，而此时最小为.14.【解析】直线的直角坐标方程为，曲线C的方程为，为圆；的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为15.【解析】连接，设，则，三角形中，所以，所以，而，故三、解答题： 本
3、大题共6小题，共80分16. （本小题满分12分）解：（1）由的周期为，知，则有；.1分所以因为函数图像有一个最低点，所以 且 ， 3分则有 4分解得， 因为，所以 .6分所以 7分（2）当时， 8分 则有，所以11分即的值域为。 12分17. （本小题满分12分）解：（1）设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件，“从第二小组选出的2人选科目乙”为事件.由于事 件、相互独立， 且, .4分所以选出的4人均选科目乙的概率为 6分（2）设可能的取值为0,1,2,3.得 , ,， 9分的分布列为 的数学期望 12分18. (本小题满分14分)（本小题主要考查空间线面关系、空间向量等知识，考查数形结
4、合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）解 :(1)证法一: 连接 1分由题意知,点分别为和的中点,. 3分又平面,平面, 5分平面. 6分证法二:取中点,连,而 分别为与的中点,2分, , 同理可证 4分又 平面/平面. 5分平面，平面. 6分证法三(向量法): 以点为坐标原点,分别以直线为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,如图所示.于是,向量是平面的一个法向量 2分， 4分又 5分平面. 6分(2)解法一: 以点为坐标原点,分别以直线为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,如图所示.于是, 8分由(1)知是平面的一个法向量, . 10分设平面的法向量为, 1
5、2分设向量和向量的夹角为,则 13分二面角的的正弦值为 14分解法二(几何法):如图,将几何体补形成一个正方体,连交于点,连,显然,都在同一平面上. 7分易证,平面,平面,又平面.取中点,连,分别是的中点,平面, 9分且为垂足,即平面,过点作于,过作交于,连,则即是所求二面角的补角. 11分在中, ,在中，,又在中， 12分. 13分所求二面角的正弦值为 14分19（本小题满分14分)解：（1）由题意可设椭圆方程为，1分则，3分 , 解的，5分所以，椭圆方程为 6分（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，故可设直线的方程为，7分由 消去得，8分则，且，9分故因为直线，的斜率依次成等比数列，所
6、以，即，10分又，所以，即11分由于直线，的斜率存在，且0，得且设为点到直线的距离，则，12分所以的取值范围为 14分20. (本小题满分1分)(1) 证：由题意，即， 1分. 2分，当时，. 3分， 4分，得 6分 7分 (2) 解：由(1)知，要使对一切成立，即对一切成立. 8分，对一切恒成立，只需，10分单调递增，当时，. 12分，且， . 13分综上所述，存在实数满足条件. 14分21（本小题满分14分）解: (1) ，1分依题设，有，即，2分解得3分 4分(2)方程，即，得， 5分记，则. 6分令，得 7分当变化时，、的变化情况如下表：当时，F(x)取极小值；当时，F(x)取极大值8分作出直线和函数的大致图象，可知当或时，它们有两个不同的交点，因此方程恰有两个不同的实根， 9分(3) ,得，又。， 10分由，得，11分 ，即12分又13分即，故的整数部分为 l4分4第 4 页 共 7 页
