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1、由一道立体几何题的解法得到的启示何天宇 （余姚市第八中学 浙江余姚 315430）笔者在一节立体几何习题课上遇到一道与二面角有关的题目，一开始就按照自己原先的解题思路讲解下来了，可当讲完后，发现有许多同学举手示意还有其他不同的解法，便顺水推舟，索性针对此题的解法进行全班大探究，同学们的思维非常活跃，各种解法层出不穷，课堂教学效果非常好，为此课后还叫同学们专门写了课堂心得。现将该堂课上呈现的精彩解法和得到的启示整理出来与大家共享。题目：点A是二面角内一点，于点B，于点C，设AB=3，AC=2，求点A到棱l的距离。图（1） 图（2）法一：（笔者课堂上的解法）如图（1），设过AB，AC的平面为，且平
2、面与，平面分别交于BD，CD，显然，且A，B，D，C四点共面。由题意可知，所以，即就是二面角的平面角，而AD就是点A到棱的距离，且，为此抽象出平面图形如图（2）。（*）见图（2）由知，A，B，D，C四点共圆，AD是该圆的直径。因为三角形ABC与四边形ABDC共外接圆，在三角形ABC中，AB=3，AC=2，由余弦定理知BC=，由正弦定理得 AD=，所以点A到棱的距离为。评注 此题是一道很常见的立体几何题，解决的关键是先说明A，B，D，C四点共面与共圆，再利用平面几何的四点共圆与三角中的正、余弦定理求得距离，对学生们而言，四点共圆比较难想到。学生们的各种精彩解法整理如下：图（3）法二：由图（3）和
3、法一（*）前的结论及题设条件，设AD=x，则BD=，CD=，因为，BC=，在三角形BCD中，由余弦定理得，即，化简得 解得 或，所以 或，经检验 不满足题意，所以点A到棱的距离为。图（4）法三：由图（4）和法一（*）前的结论及题设条件，设，则，在三角形ABD中，AD=，在三角形ACD中，AD=；所以= 即，化简得：，由得，所以AD=，即点A到棱的距离为。评注 法二、法三在法一（*）前的结论下，借助三角函数的知识，通过适当的设元而加以解决，体现了转化和化归思想，对学生的三角知识要求比较高，也从另一个侧面说明了三角知识的重要性。图（5）法四：由图（5）和法一（*）前的结论及题设条件，将四边形ABD
4、C补形成矩形ABMN。在三角形ACN中，AC=2，所以CN=1，AN= ；在三角形CDM中，CM=2，所以DM= ，BD= ，在三角形ABD中，AD=，即点A到棱的距离为。图（6）法五：由图（6）和法一（*）前的结论及题设条件，延长AB，CD交于点E。因为，所以，所以。在三角形ACE中，AC=2，AE=4，又因为AB=3，所以EB=1。在三角形EBD中，BD=EB=，所以，在三角形ABD中，AD=，即点A到棱的距离为。图（7）法六：由图（7）和法一（*）前的结论及题设条件，过B点作AC的垂线BM交AC于点M，过D作BM的垂线DN交BM于点N。因为，所以，又因为AM=AB = ，所以DN=CM=
5、 ，在三角形BDN中，BD= ，所以AD= =，即点A到棱的距离为。评注 法四、法五、法六在法一（*）前的结论下，主要通过平面几何的知识（如补形，恰当地添辅助线）来解决，对平面几何知识要求比较高，如果学生初中平面几何基础扎实，此时的优势就体现出来了。图（8）法七：由图（8）和法一（*）前的结论及题设条件，以C为坐标原点，CA，CD所在的直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系。显然A ，B ，设D点的坐标为，则，因为BD AB，所以0，所以 所以，即D ，所以，即点A到棱的距离为。评注 本解法独辟蹊径，通过建立平面坐标系应用向量知识来解决，从此解法可看出向量的巨大威力和解析法的独特魅力，显示了数学
6、之美。两点启示：一：从这堂课的教学过程来看，看似简单的几何问题包含的内容却不简单，要深入挖掘题目的内涵，多探究，多思考，从多个角度看问题。平时，无论教师还是学生都应多从一题多解的角度来找思路，教师要尊重学生的想法，充分调动他们的思维积极性，鼓励解题创新，追求优美解，只要坚持不懈，必大有收获。二：从探究出的不同解法可以看出，数学解题过程中基础知识的重要性，平面几何，三角函数，向量与解析几何等相关知识的灵活应用对解决该题起到了很关键的作用，建议教师和学生在学有关立体几何内容前先补习、强化一下平面几何的知识，相信会对后续学习大有帮助。 联系方式：（电话）057422681819；（手机）13185748958；E-mail：hty_;联系地址：浙江省余姚市第八中学，邮编：315430。
