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1、数学美欣赏第8讲罗氏几何(下)4 罗氏平面上的三种圆曲线1. 三种线束和三种圆曲线定义 在一平面上的下列三种直线的集均称为线束：（1）过同一点的一切直线的集（称为有心线束，称为其中心）；（2）垂直于同一直线的一切直线的集（称为分散线束称为其底线）； （3）直线及平行于此直线于方向的一切直线的集（称为平行线束射线称为该平行线束的方向射线） 定义 共面二直线、上的各一点、，若使截此二直线所成的同侧二内角合同，则线段称为、的等倾割线，、称为、的对应点 定理 一直线上的一点在共面的另一直线（不过）上必有一对应点B当、不相交时，的对应点唯一定义 线束中一直线上的已知点（当线束有中心时，不取此中心）及在线
2、束的每一异于的直线上的对应点的集称为一个圆曲线（当线束有中心时，对的对称点亦命其属此集）线束的每一直线均叫此圆曲线的轴点叫此圆曲线的起点定理 有心线束上的点（不是中心）及其对应点以及关于的对称点组成的圆曲线是一圆，以为圆心，以为半径定义 分散线束上的点及其对应点组成的圆曲线称为等距线或超圆.定理 在分散线束的一直线上给定一点，则以为起点的圆曲线上的各点到底线的距离相等定义 平行线束上的点及其所有对应点组成的圆曲线称为极限圆或拟圆其中射线为此平行线束之方向射线.定理 平行线束（方向射线为）上的点及其对应点组成的圆曲线是当沿射线无限远离时的极限位置设直线于点射线, 则圆曲线是以为底线、为起点的等距
3、线当沿射线无限远离时的极限位置. 定理 在一平面上，三角形的三边的中垂线属于同一线束2.圆曲线的性质定理 圆曲线有下列性质（圆、等距线、极限圆的共性）：（1）它上面的每一点均可作起点； （2）它的每一轴都是这曲线的对称轴；（3）它和任何直线的交点不多于两个（圆曲线退化为直线的情形除外即除去圆曲线是等距线且其起点在底线上的情况此时圆曲线即底线上的点的集）；（4）经过它的一点且垂直于过此点的轴的直线和它没有第二个公共点（圆曲线退化为直线的情况除外） 极限圆的一个特有性质所有的极限圆都合同注 圆与等距线不具有此性质.摔碎的砝码还能用吗？1624年，法国数学家德梅齐里亚克(Meziriac，15811
4、638)提出并解决了下面的砝码问题.一位商人有一个磅的砝码，不慎跌落在地摔成四块. 称得每块都是整磅数，且可以用它来称磅到磅的任何整磅数的重物，问这四块砝码碎块各重多少?天平的砝码盘只能放一些砝码，而称重盘上可以重物砝码混放. 例如，可以用磅与磅的两块砝码称出磅的重物. 为此只需把磅砝码放在砝码盘上，把重物与磅砝码放在称重盘上，如果天平平衡，则知重物是磅.一般地，我们有命题 设有个砝码, , , ，从中恰当地选取一些砝码放入两个盘上，可以称出, , , , 磅的重物. 今再取一新砝码磅，则用, , , , 可以称出, , , , 磅的重物.例如, 我们有个砝码磅, 磅, 显然可以用它们称出磅,
5、 磅和磅的重物. 再取一新砝码磅, 则用, , 可以称出从磅, 磅, 磅, , 磅的重物. 具体称法如下.重量(磅)砝码组合上述命题的证明（自学） 若重物的重量磅，则用, , , 去称即可；若，先把放在砝码盘上，把重物放在称重盘上(重物比较轻)，这时, 重物已抵消了砝码上的一部分重量, 砝码还剩磅重, . 把这部分视为磅的重物，可通过, , , 的适当摆放而使天平平衡；若，则把放入砝码盘之后(重物比较重)，砝码抵消了重物上的一部分重量磅，重物还剩磅重，可以通过适当摆放, , , 而被抵消，从而使天平平衡.现在回到磅的砝码摔成四块的问题. 因为磅的砝码可以称出磅的重物，由上述命题，取磅的砝码，则
6、用磅和磅两个砝码可称出磅, 磅, 磅, 磅的重物.重量(磅)砝码组合仍上述命题，再取磅的砝码，则用, , 可以称出磅, 磅, 磅, , 磅的重物；重量(磅)砝码组合重量(磅)砝码组合再用上述命题，取磅，则用, , , 可以称出磅, 磅, 磅, 磅的重物.重量(磅)砝码组合重量(磅)砝码组合重量(磅)砝码组合重量(磅)砝码组合重量(磅)砝码组合重量(磅)砝码组合综上，若这四块砝码碎块分别重磅，磅，磅和磅，则可以用它们称出磅的重物.中国剩余定理（孙子定理） 孙子算经成书于公元三世纪前后，原始作者已不可考. 魏晋时期的著名数学家刘徽曾为孙子算经作注. 书中有两则“妇孺皆知而乐道之”的名题，一题称为“
7、物不知其数”，一题则是“韩信乱点兵”.通过对“物不知其数”的解决, 人们总结出了在世界数学史上影响深远的“中国剩余定理”或称“孙子定理”，该定理比内容相同的高斯定理早问世1500年左右. 南宋大数学家秦九韶(约公元12021261)在他的巨著数书九章中又提出一个脍炙人口的“余米推数”问题，并总结出“大衍求一术”. 秦九韶, 字道古，四川安岳人，曾在川、皖等地为官，1260年贬至广东梅州，次年卒于任所. 他博学多才，史称秦九韶“性极机巧，星象、音律、算术以至营建等事，无不精究”，“戏、球、马、弓、剑莫不能知”. 在南宋兵荒马乱的年代，他能够潜心研究数学，实为难能可贵. 二十多万字的数书九章是他在
8、12441247年为其母亲守孝期间写成的. 该书立论新颖，构思风趣，是我国乃至世界的数学瑰宝. 美国数学史家萨顿(GSarton, 18841956)说，秦九韶是“他的民族，他的时代，以致一切时期最伟大的数学家之一.” (1)物不知其数与中国剩余定理题曰：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何?” 宋朝时有歌谣口诀称：三岁孩儿七十稀,五留廿一事尤奇,七度上元重相会,寒食清明便可知.其中的上元指正月十五元宵节, 从正月十五至寒食清明共天. 明朝程大位的歌诀则唱道：三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正月半,除百零五便得知.这两首歌谣比较晦涩难懂, 但它们实际上给
9、出了上题的解法：用乘三三数之的余数，用乘五五数之的余数，用乘七七数之的余数，再把三个乘积相加，减去的若干倍，即可得所求的数的最小值. 即:即所求的物件数目的最小值. 其实, 上面得到的和也都是满足原题条件的数, 但在满足条件的正数中, 是最小的. 上面用到的实为、的乘积: . 一般地, 若已求出一数，它满足所说的条件, 即被除余，被除余，被除余，则(是整数)仍然满足条件，所以有第四句“除百零五便得知”. 这里的“除”字是删除，即减去的意思.上述解法的理论根据是如下的孙子定理. 但该定理用到了一些初等数论的概念和性质，我们先简述如下. 定义1 设和是整数. 若存在整数, 使得, 则称整除, 记作
10、. 例如, , 所以. 定义2 若用自然数除整数和所得的余数相同, 则称和关于模同余, 记作().例如, 用除和, 余数都是, 所以().又如, 用除, 余数为; 用除, 余数为, 所以和关于模不同余. 命题1(同余的判定) 设和是整数, 是自然数, 则().例如, , , 所以(). 事实上, 用除和, 余数都是, 因而().又如, , 不整除, 所以和关于模不同余. 事实上, 用除, 余数为; 用除, 余数为, 故和关于模不同余.命题2 (同余的性质) 设, , 是整数, 是自然数, 则1. (), (反身性);2. 若(), 则()(对称性);3. 若(), (), 则()(传递性).
11、定义3 若两个整数和的最大公因数, 则称和互素(互质). 例如, , 所以和互素. 又如, , 所以和不互素. 定义4 设为正整数, 和为任意整数. 若(), 则称是()的数论倒数. 例如, (), 所以是()的数论倒数.命题3 整数()有数论倒数.若有数论倒数(), 则整数()是的数论倒数(). 这说明, 的数论倒数的集合.例如, , 故()有数论倒数. 事实上, 是()的一个数论倒数, 且的数论倒数的集合. 又如, , 故()没有数论倒数. 数论倒数的求法不再讲述, 但在简单的情形, 我们可以通过试验几个数值而求得.中国剩余定理(孙子定理) 设, , , 是两两互素的正整数, , (, ,
12、 , ), 则下列一次同余方程组, , , 的解为.其中(, , , ).实际上, 求物件数即求解一次同余方程组, , .此时，孙子定理中的; , , ; ，, , 它们两两互素. , , , . 因为要求, 即, 所以; 因为要求, 即, 所以; 因为要求, 即, 所以. 于是, 所求的解答为.但, 所以. 即(是整数). 当取时, 我们得到了最小正整数解. 当为其它整数时, 也是解. 例如, 时, , 它显然也是解. 用孙子算经的这种算法，还可解决下面的韩信点兵问题. (2)韩信乱点兵 据司马迁史记：“淮阴侯列传第三十二”与“韩信卢绾（音晚）列传第三十三”载，“韩信者，淮阴人也. 始为布衣
13、时，贫无行，不得推择为吏，又不能治生商贾，常从人寄食饮，人多厌之.”足见其贫贱之身世，被人欺凌，受过“胯下之辱”. 后发奋习武，熟读兵书，成为统率刘邦全军的元帅，助佐刘邦得天下. 但刘邦过河拆桥，欲车裂韩信，韩信留下“狡兔死，走狗烹；飞鸟尽，良弓藏; 敌国破，谋臣亡”的千古哀怨! 帝王之中，有几个不是无赖?! 假设韩信自幼立志于数学，也许会对人类做出更大的贡献. 下面是孙子算经上所载的“韩信乱点兵”的名题.韩信有兵一队，若列为五行纵队，则末行一人; 成六行纵队，则末行五人; 成七行纵队，则末行四人; 成十一行纵队，则末行十人. 求兵数. 军师答曰：“人或人加若干倍的人”(这说明答案不唯一). 韩信答曰：“多多益善!”求士兵人数实际上是求下列一次同余方程组的解:, , , .此时, 孙子定理中的; , , , ; ，, , , 它们两两互素. , , , , . 因为要求, 即, 所以; 因为要求, 即, 所以; 因为要求,
