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1、函数值域求法小结一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数）1、求的值域。由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得：2、求函数的值域。分析：首先由0，得+11，然后在求其倒数即得答案。解：0+11，函数的值域为（，二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域）1、求函数的值域。设：配方得：利用二次函数的相关知识得，从而得出：。说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：。2、求函数的值域。解答：此题可以看作是和两个函数复合而成的函数，对配方可得：，得到函数的最大值，再根据得到为增函数且故
2、函数的值域为：。3、若，试求的最大值。本题可看成一象限动点在直线上滑动时函数的最大值。利用两点(4，0)，(0，2)确定一条直线，作出图象易得：，y=1时，取最大值。三、反函数法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型）对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。1、求函数的值域。由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x，从而便于求出反函数。反解得即故函数的值域为：。（反函数的定义域即是原函数的值域）2、求函数的值域。解答：
3、先证明有反函数，为此，设且，。所以为减函数，存在反函数。可以求得其反函数为：。此函数的定义域为，故原函数的值域为。四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断）1、求函数的值域。由于本题的分子、分母均为关于x的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：整理得：当时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的范围应该满足即此时方程有实根即，注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是）代回方程检验。将分别代入检验得不符合方程，所以。2、求函数的值域。解答：先将此函数化成隐函数的形式得：，(1)这是一个关于的一元二次方程，原函数有定义，
4、等价于此方程有解，即方程(1)的判别式，解得：。故原函数的值域为：。五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用三角代换）等）1、求函数的值域。由于题中含有不便于计算，但如果令：注意从而得：变形得即：注意：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误。2、已知是圆上的点，试求的值域。在三角函数章节中我们学过：注意到可变形为：令2p)则p)即故3、试求函数的值域。题中出现，而由此联想到将视为一整体，令由上面的关系式易得故原函数可变形为：六、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域）1、
5、求函数的值域。分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式，将原函数视为定点(2，3)到动点的斜率，又知动点满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得：2、求函数的值域。分析：此题首先是如何去掉绝对值，将其做成一个分段函数。在对应的区间内，画出此函数的图像，如图1所示，易得出函数的值域为。七、不等式法（能利用几个重要不等式及推论来求得最值。（如：），利用此法求函数的值域，要合理地添项和拆项，添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量，同时，利用此法时应注意取成立的条
6、件。）1、当时，求函数的最值，并指出取最值时的值。因为可利用不等式即：所以当且仅当即时取“=”当时取得最小值12。2、双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（）。A B4 C2 D根据双曲线的离心率公式易得：，我们知道所以（当且仅当时取“=”）而故（当且仅当时取“=”）。说明：利用均值不等式解题时一定要注意“一正，二定，三等”三个条件缺一不可。3、求函数的值域。解答：，当且仅当时成立。故函数的值域为。此法可以灵活运用，对于分母为一次多项式的二次分式，当然可以运用判别式法求得其值域，但是若能变通地运用此法，可以省去判别式法中介二次不等式的过程。4、求函数的值域。解答：此题可以利用判别式
7、法求解，这里考虑运用基本不等式法求解此题，此时关键是在分子中分解出项来，可以一般的运用待定系数法完成这一工作，办法是设：，将上面等式的左边展开，有：，故而，。解得，。从而原函数；)当时，此时，等号成立，当且仅当。)当时，此时有，等号成立，当且仅当。综上，原函数的值域为：。八、部分分式法（分离常数法）（分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为(常数)的形式）1、求函数的值域。观察分子、分母中均含有项，可利用部分分式法；则有不妨令：从而注意：在本题中应排除，因为作为分母。所以故2、如对于函数，利用恒等变形，得到：，容易观察得出此函数的值域为。注意到分时的分子、分母的结构特点，分离
8、出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。九、单调性法（利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域）1、求函数的值域。由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：配方得：由复合函数的单调性（同增异减）知：。当函数在上单调，譬如在上递增时，自然有函数在上的值域为(其中，当时，也称其存在，记为);若在上递减，函数在上的值域为。在闭区间上也有相应的结论。2、求函数的值域。此题可以看作和，的复合函数，显然函数为单调递增函数，易验证亦是单调递增函数，故函数也是单调递增函数。而此函数的定义域为。当时，取得最小值。当时，取得最大值。故而原函数的值域为。十
9、、利用导数求函数的值域（若函数f在（a、b）内可导，可以利用导数求得在（a、b）内的极值，然后再计算在a，b点的极限值。从而求得f的值域）求函数在内的值域。分析：显然在可导，且。由得的极值点为。所以，函数的值域为。十一、最值法（对于闭区间a，b上的连续函数y=f(x)，可求出y=f(x)在区间a，b内的极值，并与边界值f(a)、f(b)作比较，求出函数的最值，可得到函数y的值域）已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)0，且满足x+y=1，求函数z=xy+3x的值域。点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。解：3x2+x+10，上述分式不等式与不等式
10、2x2-x-30同解，解之得1x3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1x3/2)，z=-(x-2)2+4且x-1，3/2，函数z在区间-1，3/2上连续，故只需比较边界的大小。当x=-1时，z=5；当x=3/2时，z=15/4。函数z的值域为z5z15/4。点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。十二、构造法（根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合）求函数y=x2+4x+5+x2-4x+8的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为f(x)=(
11、x+2)2+1+(2-x)2+22作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=x，则ek=2-x，KF=2+x，AK=(2-x)2+22，KC=(x+2)2+1。由三角形三边关系知，AK+KCAC=5。当A、K、C三点共线时取等号。原函数的知域为y|y5。点评：对于形如函数y=x2+a(c-x)2+b(a，b，c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。十三、比例法（对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域）已知x，yR，且3x-4y-5=0，求函数z=x2+y2的值域。点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)x=3+4k，y=1+3k，z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。当k=3/5时，x=3/5，y=4/5时，zmin=1。函数的值域为z|z1。点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。
