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1、数据的波动极差与方差 一、一周知识概述1、极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差极差能够反映数据的变化范围，生活中经常用到极差说明：极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，但它受极端值的影响较大2、方差（1）在一组数据x1、x2、xn中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，通常用“s2”表示，即：（2）方差的计算方法：定义法，就是用上面方差的定义公式进行计算；原始数据简化计算法：；新数据简化计算法：当一组数据中的数据较大且比较集中时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据x1=x1a,x2=x2a,x
2、n=xna；那么3、标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，即标准差=详解：(1)极差、方差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，方差越小的，波动越小，即与其平均值的离散程度较小，从而它比较稳定；极差计算方便，但只对极端值较为敏感；(2)求方差的步骤可以概括为：“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”，得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况；(3)方差的数量单位是原数据单位的平方4、用计算器求一组数据的标准差、方差：具体操作应由不同型号的计算器的功能决定二、典型例题剖析例1、在2005年的高考中，参加高考的考生年龄最大的68岁，年龄最小的是13岁，求2005
3、年高考考生年龄的极差，说明了什么?你有什么感慨，用一句话表述分析：极差最大值最小值解答：年龄极差=6813=55(岁)从年龄极差看，我国高考制度已日趋完善，考生不再受年龄诸多因素的限制感慨：大学的校门永远向你敞开例2、为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对农副产品的规格进行了划分某外贸公司要出口一批规格为75 g的鸡腿，现有两个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质也相近质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量如下(单位：g)：甲厂：7574747673767577777474757576737673787772乙厂：75787277747573797275807
4、17677737871767375把这些数据整理成图(1)你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量吗?(2)求出它们的平均质量，并在图中画出表示平均质量的直线；(3)从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少?最小值又是多少?它们相差几克?乙厂呢?(4)如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应购买哪个厂的鸡腿?与同学交流分析：(1)根据数据组和分布图易估计这两个厂家鸡腿的平均质量，它们都接近75 g；(2)利用平均数可以表示一组数据的平均水平；(3)平均质量只能反映总体的集中趋势，并不能反映个体的变化情况从上图看出，甲厂的产品更符合要求解答：(1)估计平均质量都是75 g(2)(7575)
5、(7475)(7275)75=75 (7575)(7875)(7575)75=75(3)甲厂鸡腿质量的极差：7872=6 (g)；乙厂鸡腿质量的极差：8071=9 (g)(4)应购买甲厂的鸡腿方法总结：极差是刻画数据离散程度的一个统计量，极差越大，偏离平均数越大，产品的质量性能越不稳定例3、从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)：甲：25414037221419392142乙：27164427441640401640问：(1)哪种玉米的苗长得高?(2)哪种玉米的苗长得齐?分析：长得高和长得齐是两个不同的概念，看哪种玉米的苗长得高，只要比较甲、乙两种玉米的平均高度即可
6、；要比较哪种玉米苗长得整齐，只要看两种玉米的苗高的方差即可解答：(1) (25414037221419392142)=300=30(cm)(27164427441640401640)=310=31(cm)因为，所以乙种玉米的苗长得高(2) (2530)2(4130)2(4030)2(4230)2= 1042=104.2(cm2)(2731)2(1631)2(4431)2(4031)2= 1288=128.8(cm2)因为，所以甲种玉米的苗长得整齐例4、设一组数据x1，x2，xn，其标准差为sx，另一组数据3x1a，3x2a，3xna，其标准差为sy，求sx与sy的关系式分析：分别利用标准差的计
7、算公式进行整体代换解答：设x1、x2xn的平均数为，则3x1a，3x2a，3xna的平均数为3a点评：一组数据x1，x2，xn的方差为s2,则x1b,x2b,xnb的方差为s2；ax1b,ax2b,axnb的方差为a2s2方法技巧：方差反映了数据的波动大小，在实际问题中，如长得是否速度一致，是否稳定等都是波动的体现，方差越大，波动越大例5、为迎接世界无烟日的到来，小明对10名戒烟成功者戒烟前和戒烟5星期后的体重作了认真统计，并记录如下(单位：kg)：人员ABCDEFGHIJ戒烟前67806952526055556460戒烟后70816855576254526758(1)求这10人在戒烟前和戒烟
8、后的体重的平均数；(2)求这10人在戒烟前和戒烟后的体重的方差；(3)通过上述数据，你能得到什么结论?分析：用计算器求一组数据的平均数、方差，要严格按教材上的说明和不同型号的计算器的不同功能进行操作，否则极易出错；问题(3)具有一定的开放性，要注卷找出数学问题与实际问题的结合点，确定思考的方向，并用简洁和准确的语言加以表述解答：(1)将数据按大小重新排列：戒烟前：52，52，55，55，60，60，64，67，69，80；戒烟后：52，54，55，57，58，62，67，68，70，81；用计算器求得：=61.4(kg), =62.4(kg)(2) =70.44, =73.84(3)从戒烟前后
9、两组数据的统计量知：从平均数看戒烟后这10人的平均体重增加了l kg；从方差看，戒烟后数据的波动比戒烟前数据的波动大，说明戒烟对不同的人所发生的变化程度是不同的，通过对这两组数据的统计分析，得出结论：吸烟有害健康，戒烟对身体健康是有益的例6、一次科技知识竞赛，两组学生成绩统计如下：分数5060708090100人数甲组251013146乙组441621212已知算得两个组的人均分数都是80分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次，并说明理由分析：这是一道开放型问题，要判断这两个组竞赛成绩的优次，应从众数、方差、中位数、高分段人数等多角度分析解答：(1)甲组成绩的众
10、数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些；(2) 2(5080)25(6080)210(7080)213(8080)214(90-80)26(10080)2=172同理可算出=256因为，所以甲组成绩较乙组成绩好(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中甲组成绩在80分以上的有33人，乙组成绩在80分以上的有26人，从这一角度看甲组的成绩总体较好(4)从成绩统计表看，甲组成绩高于90分的人数为146=20(人)，乙组成绩高于90分的人数为1212=24(人)所以乙组成绩集中在高分段的人数多，同时乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人，从这一角度看，乙组的成绩较好方法总结：(1)解这类题目要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算，而不能习惯性地仅由方差的大小决定哪一组的优劣，应从实际出发做多角一度的分析；(2)要在恰当地作出评估后组织好正确的语言作出结论；(3)这类开放型题是知识的综合运用，必须要有扎实的功底、综合解题的能力和较好的语言表述能力 1
