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1、第四章 根轨迹法反馈系统的稳定性由系统的闭环极点确定。研究系统参数变化对闭环系统特性的影响，是分析系统和设计控制器的重要内容。参数变化的作用，体现在对闭环极点的影响上。对于高阶系统，用解析方法说明这种影响，很困难，且不易理解。图解法是一种方便的近似方法。l、基本内容和要点（l）根轨迹的基本概念 根轨迹的定义。以二阶系统为例说明什么是根轨迹，怎样从根轨迹分析闭环零、极点与系统的性能。（2）绘制根轨迹的基本规则 根轨迹的特点和性质。绘制以系统开环增益K为变量的根轨迹的规则与方法。常见的几种典型系统的根轨迹图。（3）参数根轨迹参数根轨迹的定义。多参变量根轨迹。多环系统的根轨迹。（4）非最小相位系统的
2、根轨迹最小相位和非最小相位系统的定义和特点。非最小相位系统根轨迹的特点和绘制规则。 （5）含有延迟环节的系统的根轨迹 有延迟环节的系统的极轨迹特点及绘制规则。延迟环节的近似表达式及使用条件。 （6）基于根轨迹分析系统的响应 根轨迹的形状，零极点的位置与系统时域响应性能指标间的关系。几种常见的典型系统的零、极点分布与其暂态响应性能指标。 2、重点（l）最小相位系统的以开环增益K为变量的根轨迹的特点及其绘制的规则和方法。（2）系统根轨迹的形状，零、极点的分布与其时域响应性能指标的关系。 3、难点 对“根轨迹上所有的点只是可能的闭环极点”的理解以及非最小相位系统中含最高次冥项系数为负的因子时根轨迹的
3、绘制。4-1 根轨迹法的基本概念1 根轨迹概念根轨迹法：根据参数变化，研究系统闭环极点变化轨迹的一种图解方法。即在参数变化时图解特征方程。近似作图；重要区域，如与虚轴的交点与实轴的交点等，根轨迹要准确；依据根轨迹图，可以确定合适的系统参数，为设计控制器提供依据。例图4-1，研究系统的开环增益的变化， 对闭环极点的影响。开环传递函数，闭环传递函数，特征方程，根轨迹方程，。该例的解析分析为，。参见图4-2。开环极点X，开环零点O；根轨迹上的箭头表示参数增大的方向。2 根轨迹与系统性能以图4-2为例，(1) 稳定性： 根轨迹始终都处于S平面左半部，则无论参数取多大的值，闭环系统稳定；若在参数的某些取
4、值范围，有根轨迹段(闭环极点)处于S平面右半部，则闭环系统在该参数范围不稳定。根轨迹与虚轴的交点出的参数值，为参数临界值。(2) 稳态性能：在研究开环增益对闭环极点作用时，据在原点处的开环极点个数就可以知道系统的误差型别。(3) 动态性能：从根轨迹上的共轭复数极点，能够知道该振荡模态的阻尼系数，对高阶系统的动态性能有粗略估计。3 根轨迹方程根轨迹方程实际上是便于应用规则绘制根轨迹图的标准形式的特征方程。例 已知负反馈开环传递函数：；根轨迹方程。变化参数；需要知道开环零点和开环极点。例 已知负反馈开环传递函数：； 研究参数对系统闭环极点的作用。特征方程；根轨迹方程，。例已知负反馈开环传递函数：；
5、 研究参数对系统闭环极点的作用。特征方程；根轨迹方程，。根轨迹方程(180o)等式右边为-1(0o,+1)；分母的阶次大于等于分子的阶次；变化的参数以规范形式出现在分子上。幅值条件：；相角条件：。复平面S上的一点处于根轨迹上，必须满足根轨迹方程；幅值条件：幅值等于1，由于是变化的，幅值条件总能满足；相角条件：相角应等于180o(或0o)。绘制根轨迹时，依据的条件是相角条件。4 根轨迹法中常用术语(1) 根轨迹；(2) 根轨迹的起点和终点；(起点为开环极点，终点为开环零点或无穷远处)(3) 根轨迹的分支数；(等于开环极点的个数，两条根轨迹不相交)(4) 根轨迹的分离点与汇合点。(闭环重极点，重和
6、点) 4-2 根轨迹绘制的基本规则(180O)遵循一些作图规则，能够方便地绘制近似的根轨迹图形。根据系统的方框图，列写系统的特征方程，再根据变化的参数写出规范的根轨迹方程。1. 绘制根轨迹的基本规则规则1：根轨迹的起点和终点；根轨迹始于开环极点，终止于开环零点或无穷远处；证明见P141的式(4-11)及其变换形式。规则2：根轨迹的分支数对称性和连续性；分支数与开环极点个数相等；根轨迹关于实轴对称；根轨迹是连续的。利用对称性，只需认真绘制(计算)一半根轨迹另一半对称画出。规则3：根轨迹的渐近线(与实轴的交点和夹角)；在开环极点数大于开环零点数时，有条渐近线，表示终止于无穷远处的根轨迹分支所渐近的
7、直线。这些渐近线与实轴相交与同一点，与实轴的夹角满足相角条件。简要说明如下：对于S平面上无穷远处的闭环极点来说，系统的开环极点和开环零点，近似重叠在一点，又考虑到极点与零点对相角的作用相反，即等效于个开环极点重叠在一起，则有；，。注：只有在时，需要计算渐近线与实轴的交点和夹角。规则4：根轨迹在实轴上的分布；实轴上的一点在根轨迹上的充要条件是，该点右侧实开环极点和实开环零点的总数为奇数。规则5：根轨迹与实轴的交点；交点为重极点，满足方程 ，；例4-1 负反馈系统的开环传递函数为，。* ，；* 两条渐近线，；* 实轴上的根轨迹，；p1z1p2p3* 与实轴的交点，；(试探法计算实数交点)例4-2负
8、反馈系统的开环传递函数为，；* ，；1p1* 实轴上的根轨迹，；* 与实轴的交点，-1z1，；(舍去)-1p2注：具有一个开环零点的二阶根轨迹方程，实轴外的根轨迹是圆周的一部分。规则6：根轨迹的起始角和终止角(开环极点的出射角和开环零点的入射角)由相角条件导出；Im2-21-1-3 -2 -1 0 Re记为 ；同理有 。例4-3负反馈系统的开环传递函数为* ， ，；* 实轴上的根轨迹，；* 与实轴的交点， 方程无实根。，* 。规则7：根轨迹与虚轴的交点；即虚轴上的点，满足特征(根轨迹)方程。由实部和虚部方程解出交点和。例4-4 负反馈系统的开环传递函数为*，；*渐近线，；*实轴上的根轨迹，；*
9、与实轴交点，。* 起始角；* 与虚轴交点， Re: ；Im：；，；根轨迹图见P151图4-13。规则8：闭环极点之和，在的条件下，闭环极点之和与开环极点之和相等。即随着增大，一部分极点向左移动时，另一部分极点向右移动。2. 闭环极点的确定据多项式系数与多项式零点的关系，在已知部分极点时，可以求出剩余极点。例4-5 继例4-4，(1) 已知闭环极点及对应的，计算剩余的2个闭环极点。；，；解得 (2) 已知闭环极点及对应的，计算剩余的2个闭环极点。，；解得 (3) 试确定的闭环极点。特征方程；由，得知：该方程在和区间上各有一个接近的实根。试探法计算出实根，后，得 。四次代数方程有解析解，即有求解公
10、式。关于“图4-15 开环零极点分布及相应的180根轨迹图”：(1) 依据开环零点、极点分布，列写系统的根轨迹方程；(2) 未知参数以最短(或方便)的线段作为长度单位，记为1(或)；(3) 根据基本规则绘制概略根轨迹图；(4) 千万不要死记硬背。；。讨论：开环极点分布在四边形的4个顶点上的根轨迹，四边形的一条对角线在实轴上。(1) 正方形: ； 计算闭环重极点的方程 ，即闭环系统只在平面的处有4重极点，；，。(2) 长对角线与实轴垂直； ；，；，；即，当时，闭环极点为，；当时，闭环极点为，；(2) 长对角线在实轴上； ；，；，；即，当时，闭环极点为，；当时，闭环极点为，；4-3 广义根轨迹控制
11、系统关于开环增益的根轨迹称为基本的根轨迹，关于系统其他参数的根轨迹统称为广义根轨迹。绘制广义根轨迹的方法是，列写出规范的根轨迹方程，按规则绘图。1 参数根轨迹例4-6 系统和的闭环传递函数分别为，；，；两系统的根轨迹方程相同。根轨迹图见P155的图4-17。由特征多项式知，解得。性能比较为时域分析的内容，见表4-2。例4-7 已知负反馈系统的开环传递函数为，其中 开环增益可自行选定。试分析时间常数对系统性能的影响。根轨迹方程为，；特征方程 *，当时，根轨迹方程有一对共轭复数开环零点，经计算得，根轨迹与虚轴的交点，即或时闭环系统稳定；当时，也有一对共轭复数开环零点，但根轨迹与虚轴无交点，无论或取
12、任何正值闭环系统都是稳定的；p1p2p3z1kxjz2当时，根轨迹方程有两个不等的负实零点，根轨迹与虚轴无交点，无论或取任何正值闭环系统都是稳定的；取作关于的根轨迹；*，*实轴上，；*与实轴交点，；2 附加开环零点的作用附加零点对闭环系统性能的作用体现在改变根轨迹的形状和走向；适当的附加零点减少渐近线条数，能够改善系统的稳定性。附加零点位置的选择应兼顾稳定性和动态性能。例 图4-22；例 图4-23。3 零度根轨迹非最小相位系统：有开环极点或开环零点位于S平面右半部的系统。零度根轨迹：根轨迹方程等号右边为+1时，相角条件为0o，需要绘制零度根轨迹。零度根轨迹与180度根轨迹仅仅是相角条件相差1
13、80o，绘制根轨迹的规则相似，仅与相角有关的规则不同(相差180o)，即修改规则3：根轨迹的渐近线夹角；。规则4：根轨迹在实轴上的分布；实轴上的一点 在根轨迹上的充要条件是，该点右侧实开环极点和实开环零点的总数为偶数。规则6：根轨迹的起始角和终止角(开环极点的出射角和开环零点的入射角)；。例4-8 已知正反馈系统的开环传递函数，试绘制该系统的根轨迹。*，；*渐近线，；(不需要计算交点)；*实轴上根轨迹，；*与实轴的交点， ，；*起始角，；*与虚轴的交点，；Re：，Im：；解得，；根轨迹见图4-25因，为保证该系统稳定，系统的开环增益应为。例4-9 说明非最小相位负反馈系统的根轨迹可能是0度根轨迹。4-4 系统性能的分析高阶系统的近似分析，应用闭环主导极点。1 闭环零极点与时间响应距离虚轴较远的零极点的作用可以忽略；相对距离很近的一对零点和极点成为偶极子；偶极子的作用可以忽略；例 ；若， 则零点和极点是一对偶极子，对系统动态性能的作用可以忽略。接近原点的偶极子作用将在第六章讨论。2 系统性能的定性分析关于闭环零极点位置对时间响应性能的影响：(P165)(1) 稳定性；(2) 运动形式；(3) 超调量；(4) 调节时间；(5) 实数零点极点影响；(6) 偶极子及其处理；(7) 主导极点。作业：4.1，4.4，4.13，4.16，补充题1题30
