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1、立体几何【整体感知】:点、直线、平面之间的位苴关系主要包括线与线、线与面、面与面的基本关系和基本定理，它们是 立体几何的基础，是人们认识空间图形的有丈I工貝，是解决立郎几何中推理和计算的基础，因此， 本章內容是历年、各省份高若试题的重点和热点.【热点点击】:1 异面直线的概念、判定和两条异面直线所戚的角，是高考的無点，题型多是选择题和壇空题，解 答题中也有，如辽宁理科卷.2平行与垂直仍是高若的热点_间题，立体几何解答题中肯定涉殛.高若对线、面的平行和垂直关系的 考查仍以棱柱、棱锥、正方体为载体空间的角和距离也是高考的热点和难点.文科对这一部分要求较低，理科要求较高，这一部分在理 科试题中，必有
2、汾及.【本章考点J列举如下：异面直线的判定和异面直线所戚的角；线与线、线与面、面与面的平 行关系的判定；线与线、线与面、面与面的垂直关系的判定；空间：及距离的计算（理科）.【高若命题趋势】：1 关于这一部分的考题趋于稳定，特别是解答题，基本没有创新空间的平行和垂直关系、空间的角 和距离在是高考必若內容，高考命题肯定体现对这些知识点.的考查2若查的重点是学生的空间想象 能力、推理论证能力和计算能力.【高若复习建仪】:拿握两种相互转优：垂直关系的转化和平行关系的转化，这是证明空间平行和垂直的基础.掌握空间角和距离的计算方法和常用转化，高若在这一部分的若查很少创新，考查的都常规题 型和常规方法.用好
3、教材，再好的复习资料也不如教材好，高若对立体几何的若查，降低了要求，有些题目来 源自教材，故复习之前，扫除教材上的障碍.第 55 讲 空间简单几何体结构与面积、体积【考点解读】1. 了解直（正）棱柱、正棱锥的基本结构特征及基本性质，并能简单应用.2. 能识别各种简单几何体和简单组合体的三视图，并会用斜二测画法画出他们的直观图.能进行三视 图的相关运算.3. 了解球的概念、基本结构特征及基本性质，并能简单应用【知识扫描】一、棱柱1. 定义：如果一个多面体有两个面互相 ，而其余每相邻两个面的交线互木，这样的多面体叫做棱柱，两个互相平行的面叫做棱柱的，其余各面叫做棱柱的，两侧面的公共边叫做棱柱的，两
4、个底面所在平面的公垂线段，叫做棱柱的.2性质：侧棱，侧面是：两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是四边形.3.分类：按底面边数可分为.；按侧棱与底面是否垂直可分为：4. 特殊的四棱柱：四棱柱-平行六面体-直平行六面体-长方体-正四棱柱-正方体.5. 长方体对角线的性质：长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长白二、棱锥1. 定义：如果一个多面体的一个面是，其余各面是有一个公共顶点的，那么这个多面体叫做棱锥，有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的；余下的那个多边形，叫做棱锥的.两个相邻侧面的公共边，叫做棱锥的，各侧面的公共顶点，叫做棱锥的；由顶点到底面所在平
5、面的垂线段，叫做棱锥的2. 性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底 ，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的.3. 正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是多边形，且顶点在底面的射影是底面的，这样的棱锥叫做正棱锥.4正棱锥的性质 正棱锥各侧 ，各侧面都是的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高(它叫做正棱锥的)； 正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一 三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影组成一个三角形.5. 三视图(1) 我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做;在一束平行光照射下形成的投影，叫做在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影(2
6、) 空间几何体的三视图:光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图叫做几何体的 ；光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图叫做几何体的 ；光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图叫做几何体的 .(3) 画三视图的基本要求是：正视图和侧视图高度一样，俯视图和正视图长度一样，侧视图和俯视 图宽度一样.6. 直观图的斜二测画法 在已知图中建立直角坐标系xoy ,画直观图时，它们分别对应X轴和y轴，两轴交于点O，使Z xoy =45，它们确定的平面表示水平面. 已知图形中平行于x轴或y轴的线段在直观图中分别画成 . 已知图形中平行于x轴的线段的长度，在直观图中;平行与y轴的线段的长度,在直观图中，
7、长度为.7. 侧面积公式：S二 2兀 rl, S二兀 rl S 二兀(r + r )l, S二 ch圆柱侧圆锥侧圆台侧上 下 直棱锥侧11S =-ch,S=-(c + c )h正棱锥 2正棱台 2 上 下以上公式中，r为相关半径，1为相关母线长，c为相关底面周长，h为咼，h为斜咼8体积公式：+ ST)V 二 Sh, V 二 1 Sh,V 二 1(S +、柱体锥体 3 台体 3 上(S为几何体的相关表面积，h为几何体的高)11V 二兀r2h,V = 兀r2h, V = 兀(r 2 + r r + r 2)h , ( r, h为相关的半径与高) 圆台圆锥 3圆台 3 上 上 下 下4球的表面积与体
8、积公式：V二斤兀r3,S 二4兀r2, ( r为球的半径)球 3球面考计点拨】牛刀小试：1.(湖南省长、望、浏、宁2012届高三3月一模)若某几何的三视图(单位：cm)如图所示，同此B)疋视国侧规图几何 体的体积是A. 36cm3B. 48cm3C. 60cm3D. 72 cm32.下列结论正确的是()A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥B. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D. 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选 D.A 错误如图(1)所示，由两个结构相同的三棱锥
9、叠放在一起构成的几何体，各面都 是三角形，但它不是棱锥B错误.如图(3)所示，若ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所 得的几何体都不是圆锥.A(1) c错误.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长D 正确3.(吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研测试)如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD- ABCiDi的内切球，则以竹为顶点，以平面ACD 1被球O所截得的圆为底面的圆锥的全面 积为.2兀【答案】【解析】O为球心，也是正方体的中心,O到平面ACD的距离h等于体对角线的1，即为h -二31 6
10、 622/3B到平面ACD的距离k等于体对角线的，即为k1331又球的半径R等于正方体棱长的一半，即为R2由勾股定理可知，截面圆的半径为r= 66圆锥底面面积为S =k-()2 =卡,1 6 6圆锥的母线可利用勾股定理求出：66 J6 兀圆锥的侧面积为S =兀1=兀=.2 6 6 2 2兀兀2兀圆锥的表面积为S S +S +.1 2 6 2 34.(湖南省十二校2012年3月高三第一次联考)一个几何体的三视图如右图所示，若图中圆半径为1, 等腰三角形腰长为3,则该几何体的表面积为，俯视图5.(江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三联考)将一个长宽分别是a,b(0 b a)的铁皮 的四
11、角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存 在最小值，则a的取值范围.b0 9 +小 2.i a 4【解析】设减去的正方形边长为x ,其外接球直径的平方R2 =(a-2x)2 +(b-2x)2 +x2由 R 0 x (a + b)9典例分析考点一：简单几何体的概念例1下面关于四棱柱的四个命题： 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； 若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱； 若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱.其中，真命题的编号是（写出所有真命题的编号）解析：错，必须是两
12、个相邻的侧面；正确；错，反例，可以是斜四棱柱；正确，对角线 两两相等，则此两对角线所在的平行四边形为矩形答案： 规律小结：柱体和锥体是高考立体几何命题的重要载体，因此，在学习时要注意以下三点：1. 要准确理解棱柱、棱锥的有关概念，弄清楚直棱柱、正棱锥概念的内涵和外延.2. 要从底面、侧面、棱（特别是侧棱）和截面（对角面及平行于底面的截面）四个方面掌握几何性质，能 应用这些性质研究线面关系.3. 在解正棱锥问题时，要注意利用四个直角三角形，其中分别含有九个元素（侧棱、高、侧棱与斜高 在底面上的射影、侧棱与侧面与底面所成角、边心距以及底面边的一半）中的三个，已知两个可求另 一个.变式训练1：正四面
13、体ABCD的棱长为1,棱AB/平面a,则正四面体上的所有点在平面a内的射影 构成图形面积的取值范围是（ ）A. B. C.3 1T,2,八2 1 Dr 2答案：D考点二：三视图例2 ： （201 1北京理科数学7）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是34A. 8B. &2C. 10D. 82答案：C变式训练2：把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥C-ABD,其正视图与俯视 图如图所示，则侧视图的面积为.解析：根据这两个视图可以推知折起后二面角C-BD-A为直角二面角，其侧视图是一个两直角边 2 1长为牙的直角三角形，其面积为4.答案：4考点三：直观图与侧
14、面展开图例3. 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于 ()A.C.22L 玄4V22解析：选B.根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观2a2图的面积S之间的关系是S =S,本题中直观图的面积为a2,所以原平面四边形的面积等于迈=42迂a2.故选B.n n变式训练3：圆锥轴截面的顶角3满足302,则侧面展开图中中心角a满足(n nn nA4a3B3a2nC2anD. na 2n解析：选D.设圆锥母线长为R 底面圆的半径为r,33贝U r = RsinQ.又底面周长 l = 2nr = Ra, 即 2nRsin2 = Ra, .*.a =丁3&2，.2$讪2，.na/2n，故选 D.A考点四：表面积与体积例 4. 如图，是一个几何体的三视图(单位： cm)(1) 求这个几何体的表面积及体积；(2) 设异面直线AA与BC所成的角为e，求cose . CA答案：s =8+航,v=3cos e =罟变式训练4：在边长为a的正方形ABCD中，E、3正视图 BA13俯视图F
