动点问题—二次函数中档腰三角形存在性问题措施总结: 假设结论成立； 当所给条件中没有阐明哪条边是等腰三角形的底、哪条是腰时,要对其进行分类讨论,假设某两条边相等,等到三种状况; 设未知量，求边长，在每种状况下,直接或间接设出所求点的坐标，并用所设点坐标表达出假设相等的两条边的长或第三边的长; ④计算求解,根据等腰三角形的性质或运用勾股定理或相似三角形的性质列等量关系式，根据等量关系式求解即可典型例题：例1．如图，在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，０),B(4，０)，C（０，﹣４)三点,点Ｐ是直线BC下方抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的解析式；（2)与否存在点P,使△PＯC是以OＣ为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标;若不存在，请阐明理由;（3)动点P运动到什么位置时,△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△ＰＢC的最大面积.例2.如图,抛物线y＝﹣+与x轴交于A、Ｂ两点,与ｙ轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D,已知Ａ(﹣1，0）,Ｃ（０，２).(1）求抛物线的体现式;(２)在抛物线的对称轴上与否存在点P，使△PCＤ是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在，请阐明理由；（3）点E时线段ＢC上的一种动点，过点E作ｘ轴的垂线与抛物线相交于点F，当点Ｅ运动到什么位置时,四边形ＣＤＢF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.ﻫ例3.如图，二次函数的图象通过A(2，０）,B(0,－６）两点.(1）求这个二次函数的解析式；（２）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，ＢC,求△AＢC的面积.（3）在x轴上与否存在一点Ｐ,使△ABＰ为等腰三角形，若存在,求出P的坐标,若不存在,阐明理由．例4． (•绵阳）如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0）的图象过点M(﹣2,）,顶点坐标为N（﹣1，)，且与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点．（1)求抛物线的解析式;（２)点P为抛物线对称轴上的动点,当△PBC为等腰三角形时,求点Ｐ的坐标；(３)在直线ＡC上与否存在一点Q，使△ＱBM的周长最小？若存在，求出Ｑ点坐标；若不存在,请阐明理由．例5. (四川资阳）如图，已知抛物线y=ax２+bx＋c与x轴的一种交点为A(3,0），与y轴的交点为B(０,3），其顶点为C,对称轴为ｘ=1．（1)求抛物线的解析式；（2)已知点M为y轴上的一种动点,当△ABＭ为等腰三角形时,求点M的坐标;例6．如图，已知二次函数的图象通过点A(3，3）、B(4，0)和原点O.P为二次函数图象上的一种动点,过点P作x轴的垂线，垂足为Ｄ（m,０）,并与直线OＡ交于点C.（1)求出二次函数的解析式;（2)当点P在直线OA的上方时,用含m的代数式表达线段ＰC的长,并求线段ＰC的最大值;(3)当ｍ>0时，摸索与否存在点P,使得△PCO为等腰三角形,如果存在，请直接写出所有P的坐标;如果不存在,请阐明理由．例7．（浙江义乌１2分)如图，直角梯形AＢCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上,BＣ∥x轴,OＡ=ＯＣ=4,以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点.(1)求该抛物线线的函数解析式．(2)已知直线l的解析式为，它与x轴的交于点Ｇ，在梯形AＢCO的一边上取点P.①当m＝0时,如图1，点Ｐ是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点Ｈ，连结OP,试求△OPＨ的面积.②当时，过P点分别作x轴、直线l的垂线,垂足为点Ｅ，F. 与否存在这样的点P,使以Ｐ,Ｅ，F为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请阐明理由．例8.如图,抛物线与x轴交于点A,将线段OA绕点O逆时针旋转1200至ＯＢ的位置．(1)点B在抛物线上;（２）在此抛物线的对称轴上，与否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，求点P的坐标；若不存在，阐明理由．例9.如图,在平面直角坐标系中，二次函数y=ａx2+bx﹣4（ａ≠0）的图象与x轴交于A(﹣2,０)、C（8，０）两点,与y轴交于点Ｂ,其对称轴与ｘ轴交于点D．(1)求该二次函数的解析式;（２)如图1，连结ＢC,段BＣ上与否存在点E，使得△CＤE为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请阐明理由;(３）如图2，若点P（m,n）是该二次函数图象上的一种动点(其中m>0,n<0），连结PＢ,PD，BＤ，求△BDP面积的最大值及此时点Ｐ的坐标．例１0.如图,抛物线通过的三个顶点,已知轴,点在轴上，点在轴上,且.（１）求抛物线的对称轴;(2)求抛物线的解析式；(3)探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，与否存在是等腰三角形.若存在，求出所有符合条件的点坐标；不存在,请阐明理由.ACByx011例11.如图1１所示,在梯形AＢCD中,已知AB∥ＣD, AD⊥DＢ,AD=ＤＣ=CＢ，ＡB=4.以AB所在直线为轴，过D且垂直于AＢ的直线为轴建立平面直角坐标系.(1)求∠ＤAB的度数及A、D、C三点的坐标;(2)求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L.(3）若P是抛物线的对称轴L上的点,那么使PＤB为等腰三角形的点P有几种?（不必求点P的坐标，只需阐明理由)例１2.如图,在平面直角坐标系中，已知矩形ＡBCＤ的三个顶点Ｂ（4，0)、Ｃ(8，0）、D（8，8）.抛物线y=ａx2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； (2)动点Ｐ从点A出发.沿线段AB向终点B运动，同步点Q从点C出发,沿线段CD向终点Ｄ运动．速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒．过点Ｐ作PE⊥AB交AC于点E ①过点Ｅ作EＦ⊥AD于点F，交抛物线于点G．当ｔ为什么值时，线段EG最长?②连接EQ.在点P、Ｑ运动的过程中,判断有几种时刻使得△CＥQ是等腰三角形?请直接写出相应的ｔ值． 。