北京十二中初一数学竞赛专题一：有理数及其运算（2讲）在小学学习整数，分数的基础上，引入有理数是对数的范围的巨大飞跃和拓宽对于教材上有理数的定义：“整数和分数统称为有理数”体现了这种数的发展模式但只有深入了解有理数的概念，才能解决有关于有理数的竞赛问题本讲从有理数的概念入手，体会数形结合的独特魅力，结合求相反数和绝对值简单运算，掌握关于有理数的丰富多彩的运算策略一） 有理数的概念1、整数和分数统称为有理数2、能够表示成既约分数的形式的数，称为有理数3、有理数的性质：1）有序性；2） 封闭性；3）稠密性二） 有理数的表示1、 任何一个有理数都是整数或者分数；2、 任何一个有理数都可以转化成形如：的数；3、 任何一个有理数都可以转化成有限小数或无限循环小数；4、 任何一个有理数都可以用数轴上的点表示基于第4种表示方法，可以得到：1）|a|表示数a在数轴上对应的点到原点的距离；2）|a-b|表示数轴上表示数a,b的点之间的距离；3）|x-a|+|x-b|表示点x到点a和点x到点b之间的距离和。
三） 有理数的运算1、 有理数大小的比较1）做差法：若a-b >0,则a>b；若a-b =0,则a=b；若a-b <0,则a
1）abc<0；（2）|a-b|+|b-c|=|a-c|；（3）（a-b）(b-c)(c-a)>0；（4）|a|<1-bc7、若a
18、一辆公共汽车由起点站到终点站（含起点站与终点站在内）共行驶8个车站已知前6个车站共上车100人，除终点站外共下车总计80人，问从前6站上车而在终点下车的乘客共有多少人？19、如图，在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动已知甲于第10秒钟时追上乙，在第30秒时追上丙，第60秒时甲再次追上乙，并且在第70秒时再次追上丙，问乙追上丙用了多少时间？20、用min（a，b）表示a、b两数中较小者，max（a，b）表示a、b两数中较大者，例如min（3，5）=3，min（3，3）=3，max（3，5）=5，max（5，5）=5设a、b、c、d是不相等的自然数，min（a，b）=P，min（c，d）=Q，max（P，Q）=X；max（a，c）=M，max（b，d）=N，min（M，N）=Y，判断X,Y的大小关系友情提示：下一次课讲有理数的运算：涉及到七种方法，先提前尝试一下做下面的题目1、；2、3、 ； 4、5、 ；6、3998+2997+1996+195；7、二、有理数的运算1、计算： （1）= ；（2）= ；（3）= ；（4）= ；（5）= ；（6）1－2＋3－4＋5－6＋…＋2003－2004＋2005= ；（7）= ；（8）= ；2、计算：……＋，按以上式子,那么……＋50＝ 。
3、a，b，c都是质数，且满足a+b+c+abc=99，则|-|+|-|+|-|=_________ ．4、用“”定义新运算：对于任意实数a，b，都有ab=b2+1例如，74=42+1=17，那么53=_________；当m为实数时，m（m2）=__________5、有理数a，b，c，d在数轴上的对应点如图所示，则它们从小到大的顺序是____________________6、若正数 a 的倒数等于其本身，负数 b 的绝对值等于 3，且 c＜a，c2＝36，代数式 2 (a－2b2)－5c 的值为_________ 7、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于2，则x2-(a+b+cd)x+(a+b)2000+(-cd)2001的值为_________ 8、已知则的大小关系为_________ .9、若-3
12、如果4个不同的正整数m,n,p,q满足(7-m)(7-n)(7-p)(7-q)=4，那么m+n+p+q=（ ）13、若a与（-b）是互为相反数，=（ ）14、的最小值为_________ ，此时，的取值范围为_________ .15、已知实数满足且则的值为_________ .16、计算（1）（2）2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210（3）（4）（5）（6）17、有一个数列｛an｝是按以下规律组成的：、、、、、、、、、、、、、、、、…问：（1）是数列中的第几项？ （2）第200项是哪个分数？18、2007加上它的得到一个数,再加上所得的数的又得到一个数,再加上这次得到的又得到一个数,… ,依次类推,一直加到上一次得数的,最后得到的数是多少?19、有一种“二十四点”的 游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的 自然数，将这四个（每个数用且只用一次）进行加减四则运算与应视作相同方法的运算，现有四个有理数3，4，-6，10.运用上述规则写出三种不同方法的运算，使其结果等于24，运算式：（1）_______________________;(2)________________________;(3)________________________;20、黑板上写有1，2，3，…，1997，1998这1998个自然数，对它们进行操作，每次操作规则如下：擦掉写在黑板上的三个数后，再添写上所擦掉三个数之和的个位数字，例如：擦掉5，13和1998后，添加上6；若再擦掉6，6，38，添上0，等等。
如果经过998次操作后，发现黑板上剩下两个数，一个是25，求另一个数.21、现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活中的一部分，有一种密码的明文(真实文)按计算机键盘字母排列分列，其中Q、W、E、…、N、M这26个字母依次对应1、2、3、…、25、26这26个正整数(见下表)：QWERTYUIOPASD12345678910111213FGHJKLZXCVBNM14151617181920212223242526给出一个变换公式：x'＝ ，(x是正整数，1≤x≤26，x被3整除);x’＝ ＋17，(x是正整数，1≤x≤26，x被3除余1);x’＝ ＋8，(x是正整数，1≤x≤26，x被3除余2). 将明文转换成密文，如：4→＋17＝19，即R变为L；11→＋8＝12，即A变为S.将密文转换成明文，如：21→3×(21－17) －2＝10，即X变为P；13→3×(13－8) －1＝14，即D变为F.相信你已经读懂了吧，那么请解答下面各题：⑴按上述方法将明文NOIC译为密文； ⑵按上述方法将明文译成的密文为FOR ，请找出它的明文 22、（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣。
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，∣AB∣＝∣OB∣＝∣b∣＝∣a-b∣；当A、B两点都不在原点时，点A、B都在原点的右边∣AB∣＝∣OB∣－∣OA∣＝∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣；① 点A、B都在原点的左边，∣AB∣＝∣O。