3.3 二阶系统的瞬态响应凡用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统标准形式的二阶系统的微分方程是(3.27)或(3.28)上两式中，T称为系统的时间常数称为系统的阻尼系数或阻尼比，称为系统的无阻尼自然振荡频率或自然频率K为放大系数图3.9是标准二阶系统的结构图图3.9 二阶系统的结构图标准形式二阶系统的闭环传递函数为(3.29)二阶系统的状态空间表达式为(3.30)(3.31)在式（3.30）和式（3.31）中，设K=1,u(t)为输入函数二阶系统是控制系统中应用最广泛、最具代表性的系统同时，二阶系统的分析方法也是分析高阶系统的基础3.3.1 二阶系统的单位跃阶响应二阶系统的特征方程为(3.32)特征方程的二个根为(3.33)这也是二阶系统的闭环极点从式（3.33）可以看出，二阶系统的参数，是变化的，取值不同，特征方程的根（即闭环极点）可能是复数，也可能是实数系统的响应形式也因此会有较大的区别在单位阶跃函数输入下，二阶系统的输出为(3.34)下面分几种不同的情况来讨论二阶系统的单位阶跃响应1. 无阻尼状态（=0）当二阶系统的阻尼比时，我们称二阶系统处于无阻尼状态或无阻尼情况时，二阶系统特征方程的根是共轭纯虚数根闭环极点在s平面上的分布如图3.10所示。
随变动，闭环极点的位置沿虚轴变化系统的单位阶跃响应为(3.35)响应的时域表达式为(3.36)这是一个等幅的正弦振荡这说明在无阻尼状态下系统不可能跟踪单位阶跃输入的变化的变化曲线如图3.15所示图3.10 时特征根分布图3.11 欠阻尼状态下的闭环极点2. 欠阻尼状态（）当二阶系统的阻尼系数时，我们称二阶系统的单位阶跃响应是欠阻尼情况或者说二阶系统处于欠阻尼状态当时，二阶系统特征方程的根是一对共轭复数根：(3.37)闭环极点在s平面上的分布如图3.11所示特征方程的根具有相同的实部特征方程的根的虚部为，我们定义(3.38)称为阻尼频率在图3.11中，设闭环极点与s平面原点的连线和实轴的夹角为，则有(3.39)或(3.40)系统的单位阶跃响应为(3.41)把式（3.41）展开为部分分式(3.42)对式（3.42）求拉普拉斯变换，得到(3.43)式（3.43）还可以进一步写成：(3.44)式（3.44）表明，这是一个振幅按指数规律衰减的正弦振荡过程图3.12是y(t)在欠阻尼情况下的响应曲线图3.12 欠阻尼情况下二阶系统的响应曲线式（3.44）中，正弦振荡的振幅为,可以看出，若越大，振幅衰减得就越快。
从图3.11闭环极点分布上，可以看出闭环极点离虚轴越远，振幅衰减得越快是正弦振荡的频率图3.11表明，闭环极点离实轴越远，振荡频率就越高欠阻尼响应随变化的曲线见图3.15图 3.13 临界阻尼情况下的闭环极点3.临界阻尼状态（）当阻尼比时，我们称二阶系统处于临界阻尼状态或临界阻尼情况在时，二阶系统的特征根为即二阶系统具有相等的负实数闭环极点图3.13给出了闭环极点在S平面上的分布图中用双星号表示特征方程的重根临界阻尼状态下的单位阶跃响应为(3.45)对上式进行拉普拉斯反变换得：(3.46)其响应曲线见图3.15，在临界阻尼状态下，系统的响应开始失去振荡特性，成为单调变化的曲线图3.14 过阻尼状况下的闭环极点4.过阻尼状态（)当阻尼比大于1时,我们称二阶系统处于过阻尼状态或过阻尼情况在这种状态下，二阶系统特征方程的根是两个不相等的实数根图3.14给出了这种情况下闭环极点的分布系统的闭环极点为过阻尼状态下系统的单位阶跃响应为(3.47)对式（3.47）进行拉普拉斯反变换得其响应曲线见图3.15，这是两个衰减指数项的叠加这种情况下，二阶系统的特征方程可以改写为其中于是闭环传递函数可写为(3.49)式（3.49）表明，过阻尼状态下的二阶系统可以看成是两个时间常数不同的惯性环节的串联。
过阻尼状态下的两个闭环极点距虚轴的距离不同离虚轴近的闭环极点对应的（3.48）式的指数项衰减得慢，因而对输出影响大而离虚轴远的闭环极点所对应的指数项则衰减得很快，对输出的影响较小当时，可以将远离虚轴的闭环极点忽略，把系统近似为一阶系统：(3.50)其相应的单位阶跃响应为(3.51)图3.15给出了二阶系统的单位阶跃响应曲线从图中可以看出，二阶系统单位阶跃响应的形式随阻尼比变化的情况，阻尼比越大，响应振荡越弱反之，阻尼比越小，响应的振荡越强烈图3.15中的横坐标采用，主要是为了使纵坐标的输出y(t)仅仅成为阻尼比的函数图3.15 二阶系统的单位阶跃响应3.3.2 二阶系统动态特性性能指标1.控制系统的动态特性性能指标控制系统动态特性的优劣，是通过动态特性性能指标来评价的控制系统动态特性的性能指标通常是按系统的单位阶跃响应的某些特征量来定义的多数控制系统的动态过程都具有振荡特性因此我们选择欠阻尼振荡过程为典型代表，来定义动态特性的性能指标，并用这些指标来描述控制系统的动态过程品质这些指标主要有：上升时间、峰值时间、最大超调量、衰减率、调节时间、振荡频率与周期、振荡次数等图3.16是一个典型的欠阻尼振荡过程。
它代表了系统的单位阶跃响应之所以选用单位阶跃响应来定义动态性能指标，是因为阶跃信号变化的突然性具有代表意义若系统的单位阶跃响应品质良好，对其它信号的响应一般也较好上升时间指从动态过程开始到输出第一次达到阶跃响应的稳态值所需的时间这个指标反映了系统响应的快速性或灵敏程度峰值时间是指瞬态响应达到第一个峰值的时间图 3.16 欠阻尼振荡过程最大超调量最大超调量定义为(3.52)式中是指系统阶跃响应的第一个峰值是指系统单位阶跃响应的稳态值最大超调量表示了系统振荡特性的强弱阻尼系数较小的系统，振荡较强，因而最大超调量也大最大超调量也表示了控制系统在动态过程中被控对象的输出瞬时上冲得最大程度这是输出量变化的极值这一点在控制系统的运行中非常重要因为系统中某些有一定限制的参数在动态过程中可能会因为超调而越出允许范围如材料的极限温度、电子元件的击穿电压、瞬时电流，化工生产中化合物的爆炸极限等，这将会造成设备的损坏，影响生产的安全最大超调量一般也可以简称为超调量衰减率和衰减比衰减率的定义为(3.53)式（3.53）中，是瞬态响应曲线上同方向相邻两个波峰值高出稳态值得部分衰减比的定义是(3.54)衰减率和衰减比与超调量一样，反映了系统振荡的强弱，或者说反映了系统的阻尼特性。
在化工过程、热工过程的控制中，常用来描述系统克服扰动时的动态特性在工业生产过程控制中，常常把系统设计成具有75%的衰减率，此时的衰减比为4：1调节时间调节时间也称为调整时间，过渡过程时间其定义为：从动态过程开始到系统响应进入规定的误差带内并不再超出的时间，即：(3.55)式中指规定的允许误差范围工业上常取误差的相对值为5%或2%此外，延迟时间、振荡次数、振荡周期等也是动态性能指标这里不再详述以上性能指标是按系统单位阶跃响应的特性来定义的所有的性能指标综合在一起，才能表明控制系统动态特性的品质，因此，称为单向性指标控制系统也可以用一个指标来表示系统的动态品质，称为综合性指标误差准则就是这样一种性能指标控制系统的特性通过误差的积分来评定在误差准则中，通常应用的有4种：平方误差积分准则（ISE)(3.56)时间乘平方误差积分准则（ITSE) (3.57)绝对误差积分准则（IAE)(3.58)时间乘绝对值误差准则（ITAE) (3.59)这些积分准则可以称为目标函数通过对控制系统可调参数选取，使某种目标函数的值最小，则所选择的这些参数就称为最优参数按最优参数组成的控制系统就称为最优系统2.二阶系统的动态特性性能指标上升时间：根据上升时间的定义，从（3.44）式可得因而则有所以(3.60)峰值时间对式（3.44）式求导可得(3.61)最大超调量，将式（3.61）代入（3.44）式，为简便运算，令K=1则有由图3.11可以得出因此按最大超调量的定义(3.62)用类似的方法，可得到其他性能指标。
衰减率(3.63)衰减比n(3.64)调节时间一般取近似表达式；按2%误差(3.65)按5%误差(3.66)从以上二阶系统的性能指标可以看出，提高，可以提高系统响应的快速性，减小和增大，可以减弱系统的振荡性能，降低最大超调量例1 控制系统的结构图如图3.17所示，求K=1.62,T=0.5s时，系统的单位阶跃响应表达式及动态性能指标及解 系统的闭环传递函数为上式中系统的单位阶跃响应为sss(2%误差）s(5%误差）图3.17 例1的结构图例2 控制系统如图3.18所示要使该系统单位阶跃响应的最大超调量为25%，峰值时间等于2s,系统中的K和T应为多少？解 根据得解得根据从而得系统的闭环传递函数为可得到从得到图3.18 例2的控制系统图例3 已知某单位反馈控制系统的单位阶跃响应是二阶振荡过程，最大超调量为30%，峰值时间为1s，试确定其开环传递函数图3.19 单位反馈系统解 对二阶系统由,可得到设单位反馈系统如图3.19所示为前项通道传递函数系统的闭环传递函数为由上式得将已求出的值代入上式得：。