操作性题型（1）折叠剪切问题 折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题，学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题.一、折叠后求度数【1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（ ）A．600 B．750 C．900 D．950 【2】如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（ ）A．50° B．55° C．60° D．65°CDEBA图 （2）【3】 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝ 度.图（1）第3题图二、折叠后求面积【4】如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为（ ）A．4 B．6 C．8 D．10【5】如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是A．2 B．4 C．8 D．10【6】如图a，ABCD是一矩形纸片，AB＝6cm，AD＝8cm，E是AD上一点，且AE＝6cm。
操作：（1）将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图b；（2）将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图c则△GFC的面积是（ ）EAAABBBCCCGDDDFFF图a图b图c 第6题图A.1cm2 B.2 cm2 C.3 cm2 D.4 cm2三、折叠后求长度ABCDEF第7题图【7】如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且，则CE的长是（ ）（A） （B） （C） （D）四、折叠后得图形第8题图【8】将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）A．矩形 B．三角形 C．梯形 D．菱形【9】在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（ ） 第9题图A. B. C. D. 第10题图【10】小强拿了张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次如图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是( )【11】将一圆形纸片对折后再对折，得到图1，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是（ ）图1第11题图 【12】如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（ ）第13题图【13】 如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，AD=BC. 将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是（ ）A. 1 B. 2C. 3 D. 4五、折叠后得结论第14题图【14】亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影.请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等于_______°.” 第15题图【15】如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝a cm，宽BC＝b cm，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a∶b等于（ ）． A． B． C． D．六、折叠和剪切的应用第16题图【16】将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）.（1）如果M为CD边的中点，求证：DE∶DM∶EM=3∶4∶5；（2）如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关，请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由.答案：（1）先求出DE=，，后证之.（2）注意到△DEM∽△CMG，求出△CMG的周长等于4a，从而它与点M在CD边上的位置无关.【17】电脑CPU蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片，叫“晶圆片”。
现为了生产某种CPU蕊片，需要长、宽都是1cm 的正方形小硅片若干如果晶圆片的直径为10.05cm问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由不计切割损耗）答案：可以切割出66个小正方形 方法一：（1）我们把10个小正方形排成一排，看成一个长条形的矩形，这个矩形刚好能放入直径为10.05cm 的圆内，如图中矩形ABCD∵AB＝1 BC＝10∴对角线＝100＋1＝101＜ （2）我们在矩形ABCD的上方和下方可以分别放入9个小正方形∵新加入的两排小正方形连同ABCD的一部分可看成矩形EFGH，矩形EFGH的长为9，高为3，对角线＜但是新加入的这两排小正方形不能是每排10个，因为：＞ （3）同理：＜ ＞ ∴可以在矩形EFGH的上面和下面分别再排下8个小正方形，那么现在小正方形已有了5层 （4）再在原来的基础上，上下再加一层，共7层，新矩形的高可以看成是7，那么新加入的这两排，每排都可以是7个但不能是8个。
∵＜ ＞ （5）在7层的基础上，上下再加入一层，新矩形的高可以看成是9，这两层，每排可以是4个但不能是5个∵＜ ＞现在总共排了9层，高度达到了9，上下各剩下约0.5cm 的空间，因为矩形ABCD的位置不能调整，故再也放不下一个小正方形了∴10＋2×9＋2×8＋2×7＋2×4＝66（个） 方法二：学生也可能按下面的方法排列，只要说理清楚，评分标准参考方法一可以按9个正方形排成一排，叠4层，先放入圆内，然后：（1）上下再加一层，每层8个，现在共有6层2）在前面的基础上，上下各加6个，现在共有8层3）最后上下还可加一层，但每层只能是一个，共10层这样共有：4×9＋2×8＋2×6＋2×1＝66（个）ADEHFBCG（方案一）ADEFBC（方案二）第18题图【18】在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），张丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？答案：（方案一） 比较可知，方案二张丰同学所折的菱形面积较大.【19】正方形提供剪切可以拼成三角形。
方法如下：仿上面图示的方法，及回答下列问题： 操作设计： （1）如图（2），对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形2）如图（3）对于任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个原三角形等面积的矩形答案：（1） 方法一： 方法二：第24题答案图（1） 第24题答案图（2） （2）略第20题图O【20】如图，⊙O表示一圆形纸板，根据要求，需通过多次剪裁，把它剪成若干个扇形面，操作过程如下：第1次剪裁，将圆形纸板等分为4个扇形；第2次剪裁，将上次得到的扇形面中的一个再等分成4个扇形；以后按第2次剪裁的作法进行下去.(1)请你在⊙O中，用尺规作出第2次剪裁后得到的7个扇形(保留痕迹，不写作法).(2)请你通过操作和猜想，将第3、第4和第n次裁剪后所得扇形的总个数(S)填入下表.等分圆及扇形面的次数(n)1234…n所得扇形的总个数(S)47…(3)请你推断，能不能按上述操作过程，将原来的圆形纸板剪成33个扇形？为什么？答案：(1)由图知六边形各内角相等.(2) 七边形是正七边形.(3)猜想：当边数是奇数时(或当边数是3，5，7，9，…时)，各内角相等的圆内接多边形是正多边形.操作性题型（2）分割图形分割问题通常是先给出一个图形（这个图形可能是规则的，也有可能不规则），然后让你用直线、线段等把该图形分割成面积相同、形状相同的几部分。
解决这类问题的时候可以借助对称的性质、面积公式等进行分割一． 运用对称的性质分割 例1：今有一块土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路将这块土地分成形状相同且面积相等的四部分，若道路的宽度可以忽略不计，请你设计三种不同的筑路方案若修筑三条道路你能再设计出三种方案吗？ 分析：若用两条直线，由于正方形既是一个轴对称图形又是中心对称图形，若从轴对称的角度考虑：我们可以连结两条对角线，或者连结对边中点；若从中心对称的角度考虑：我们还可以过对称中心（对角线的交点）作两条互相垂直的直线 若用三条直线分割，答案就丰富多彩了，但无论怎么变，由于分割形成的形状相同，面积相同，因此一般都是从对称的角度来考虑（比如图（3）、图（4）、图（5））二． 运用面积公式分割例2：某班研究性学习小组再研究用一条直线等分几何图形的面积是，发现如下事实：（一）如图（1），对于三角形ABC，取BC边中点D，过A、D两点画一条直线即可理由：∵△ABD与△ADC等底等高，∴S△ABD＝S△ADC二）如图（2），对于平行四边形ABCD，连接两对角线AC、BD交于点O过O点任作一直线MN即可不妨设与AD、BC分别交于点M、N）。
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠MAO＝∠NCO问题：请你研究一下，对于梯形ABCD，怎样画出等分其面积的直线。