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3连续时间动态最优化问题.docx

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第三讲 连续时间动态最优化问题一、预备知识动态最优化问题历来是数学家们关注的热点和难点问题从17 世纪末的伯努利,到20世纪50年代的贝尔曼和庞特里亚金,中间经 过拉格朗日、欧拉等一大批数学家的努力,才使动态最优化理论日臻 完善20世纪初,在拉姆齐(1928)的工作之后,动态数学技巧才 被广泛地引入到经济学中来,目前,这些技巧已是大多数现代经济学 家不可或缺的工具上一节,我们探讨了离散时间的动态优化问题,介绍了古典的拉 格朗日乘数法和比较现代的贝尔曼方程法本节我们将在连续时间的 动态优化问题中,也介绍两种方法,他们是古典的变分法和比较现代 的汉密尔顿最大值原理下面分别介绍这两种方法二、连续时间动态最优化问题的描述例1.索罗(Solow)新古典经济增长模型的一个明显缺陷是把 储蓄率看成是外生给定的事实表明,储蓄率不是常数为了将储蓄 率内生化,堪斯(Cass, 1965)和库普曼斯(Koopmans, 1965)利用拉消费者的人均消费路径,由资产收益率和时间偏好率之差决定四、最大值原理如上所述,企业利润最大化和消费者的效用最大化也可以用另外 一种形式表达以效用最大化为例消费者的最优化问题可以写成: 目标函数:maxV(O) = /(/,;:(/),c(Z)W/c(t)Jo转移方程:= g[顽初始条件:灯0)=幻k(T)-e~?(T)T >0其中V (0)是由初始时刻0看出的目标函数值,是在0和t之 间适用的平均贴现率,T是计划终端时期,它可以是有限或无限的。

关于有限或无限期界之间的区别,另行讨论变量k(t)是状态变量,变量c(t)是控制变量它们都是时间的函 数o (A.55a)式中的目标函数是瞬时幸福函数在0到T期间内的积分 这些幸福函数依次依赖于状态和控制变量k(t)和c⑴以及时间t.转移动态是一个关于资本的k(t)的微分方程;这一约束表示了控 制变量c(t)的选择是如何影响状态变量k(t)的运动模式这一关于和) 的表达式被称为转移方程或运动方程o尽管我们只写出了一个转移方 程,但实际上有一个约束的连续统,0到T之间的每个时点上一个约 束初始条件给出了状态变量k(t)的初始值,即状态变量的初始状 态最后一个约束是说在计划期界结束时所选择的状态变量k(t),以 r(T)的速度贴现后必须为非负对于有限的T值,只要贴现率是正且 有限的,这一约束就意味着灯『)20如果k(t)代表一个人的净资产且 T为这个人的寿命,约束就排除了负债死亡的可能性如果计划期界 是无限的,那么该条件显示净资产可以为负而且可以在数值上永远增 长下去,只要其增长率小于可)这一条件排除了连环信贷或蓬齐负 债手段4. 1. 一阶条件的试探性推导仿照非线性最优化问题的静态解法一库恩一塔克条件,我们构 造类似的拉格朗日函数f[h 灯以+ £ {//(r) •即,c(r)l -+ v • k(T) .疽<7>『此处,〃⑺、,分别是对于于转移方程和生命总结时的资产约束的 拉格朗日乘数。

由于时间变量是连续的,所以,在0到T期之间的 每一个时点上约束条件都成立,所以相应就有连续统的拉格朗日乘 子日⑴、v,被称为共状态变量或动态拉格朗日乘子与静态情形 类似,这些共状态变量可被理解为影子价格:“(t)是在t时的1单 位资本存量的增加,以在0时的效用单位表示的价格或价值由于 每个约束都等于0,每个乘积也等于0因此所有约束的总和等于0: r•(g“, W), c、《)]-和))}出=o为了找到静态问题中的一阶必要条件,我们将对0到T之间的 所有t把L对c⑴和k(t)最大化这种方法的问题是我们并不知道 如何取对k的导数为了避免这个问题,我们通过项分部积分可以 把拉格朗日函数改写为乙=f 币灯江《)血 + f {//(O •即,S),c'(,)]-棚)步 + u • k(T) •=「{f|/MG),c(f)] + "(f) •(祯,W),C(]} • dt- £ 〃Q) • k{t)clt + u • k(Ty e~r{T)T=)]+"“)• (gu,灯江 W)]} •出+ f 的)• k(t)dt + "(0) • k.- "(T) • k(T) + v • k(T) • /g第一个积分符号内的表达式被称为汉密尔顿函数,记作:H(k,c,L")三 /V,#Q),c。

)] + 〃 • g(r,汉密尔顿函数有一个经济学解释(参见多夫曼[19691).在一个时 点上,消费者消费c⑴且拥有资本存量k(t)o这样两个变量通过两条 渠道影响到效用第一,消费和资本对效用的直接贡献,第二,消费 的选择通过转移方程,影响到资本存量的变化而资本存量的变化的 价值正是资本存量的变化与影子价格的乘积有了汉尔密顿函数之后,拉格朗日函数可改写为匕=r 归化+A k^dt+ "(0) • k0 - ju(T) • k(T) + V • k(T) • W令a%)和cP)分别为状态变量和控制变量的最优时间路径如果 我们以一任意的扰动函数PQ)来扰动最优路径c¥),那么我们可以生 成一个对控制变量而言的相邻路径:c(,) = c'(,) + £.〃| (r)当c(t)被扰动时,根据预算约束,就产生了对k(t)和k(T)的相应 扰动:kQ) = k: (') + £ . P2(f)k(T) = k; (T) + c ・ p.T)其中,,是一个任意小的数,当它趋于0时,k(T) t c,(T)对于给定的c%)和r(r),每一个£对应于一条邻近路径,从而确定泛 函的特定值碓)于是,泛函就成了已的函数L = L(如 其表达式为:L(e) =「{//[r,灯。

c(,)]+的)• W)} •出+ "(0) .幻一 /J(T)k(T) + v k(J) • e-E=£ {h \tX Q) + £ • Pi “),c* (f) + £ • /a (r)]+ 的)•伙'Q) + £ • a? (,)]}• dt+ MO) . k°—岬)•[妒(7) + £ • P2 (T)] + v • [F (T) + £ • P2 (T)] . e~f(T)T现在我们可以取拉格朗日函数对的导数并令其为0:= 了 间以"( £ • P2 «),/ (,) + £• Pl Q)]+ 的)•伙")+ £ • P2 (/)]}•出+ "(0) • k° - “(7) •伙* (7) + s p2 (T)] + W (7) + £ . P2 (T)] • /⑺'=「JHk — (,)+「• P2⑺,c*(,)+ "• Pl(,)] + 8仙7)•伙"(,) + £• M)]}] dt Jo [dede・〃3)・[P2(r)]+y[P2(r)]gW”这里利用了微积分的复合函数求导法则,即cHdH dedH dk6H,、 6H,——=+=——P. (r) +/A (0Jdsde dtdk dede dk~化简得ds I dedk+ [-Mn+v.e-?(T)r]p2(T)=0dL(Qde=1僧 P()+{券+沁)}『同},*+ [_"(?>+□疽e]p2(T)=0由于P«),P2(,)是任意的,所以,只有当方程中的每个分量都等 于。

时,才能保证方程0对所有的扰动路径都成立,也就是说4dedH .八dk〃(r)= v・g-f上述关于控制变量的一阶条件表明,如果疽⑺,妒⑴是动态最优 化问题的解,那么对于所有的t来说汉密尔顿函数对控制变量C的导 数都等于0这一结果被称为极大值原理汉密尔顿函数对状态变量 k的偏导数等于拉格朗日乘数的导数的负值这一结果与转移方程一 起常被称为欧拉方程最后,期末的共状态变量,〃等于与k相关的非 负约束的静态拉格朗日乘子V的贴现值五、横截性条件静态问题的库恩一塔克一阶必要条件包括了一个与不等式约束相关的互补松弛性条件在静态问题中,这些条件表明如果一个约束不是等式,那么与之相关的影子价格就为0在目前的动态问题中,有 一个不等式约束要求在计划期末留下来的资本存量以速率贴现后不 可能为负,与这一约束相关的条件要求我们可以把这一互补松弛性 条件改写为u(T) • k(T)=0这一边界条件常被称作横截条件它表明如果所留下的资本数量为 正,k(T)>则其价格必为0, u(t)=0o反过来,如果在期末资本价 格为正,Z/(T)>0,则行为者将不会留下任何资本k(t)=0o五、举例:新古典增长模型假定经济行为者选择消费c(t)和资本k(t)的路径以最大化问题:MaxUc(l)[(?(/)] = £ Iog[c(r)]-e_/^r顷(冲_心)_顷)灯 0) = 1lim> 0为求解这个最优化问题,建立汉密尔顿方程H(c, k,t, ■)= e log(c) + n , (k" 一 c 一 5 • k)一阶条件为X*-一一 票等X*-一一 票等L-P上" C- = aka~l-p-6 c加上转移方程,就构成了一个关于k和c的非线性ODE系统。

关于 方程的性质我们下一次再讲姆齐(Ramsey, 1928)倡导的最优化方法,将储蓄率看作是由家庭和企 业在竞争市场上追求自身利益最大化的结果,以此证明储蓄率是由模 型决定的内生变量假设经济包含两个部门,家庭和企业,家庭通过提供劳动服务从 企业取得工资,通过提供资产获得利息家庭收入分成消费和储蓄两 部分家庭在预算约束条件下按照消费效用最大化的原则进行消费和 投资决策家庭生命是无限期的家庭大小与成年人口数量对应,成 年人口按给定(外生)不变的速度增长,为方便其见,人口的变化规 律由下式确定:L(t) = en,这里,假设初期人口数量为1,然后按等比级数递增,n为人口增 长率C9表示,时刻的消费,c(t)=C(t)/L(t)表示人均消费消费者问题是:v MaxU\c(t)\ = £ w[c(r)]- enl • e ch、d = w+ ra-c-na(1)此处,虹c)是c的增函数并满足边际效用递减规律,以C)满足稻田条 件:lim u (c) = co, lim u (c) = 0c->0c->oo即当C趋于零时,边际效用趋于无穷大,当C趋于无穷大时,边际效 用趋于零U[c(切表示家庭的总效用;a(t)=A(t)/L(t)表示人均净资产;尸⑴表示资产收益率;w")表示工资率;p>0表示时间偏好率,其含义是,时间越久远,效用的贴现值 越少,Q也叫做主观贴现率。

通常假设以保证家庭总效用在消 费给定时是有界的I最优化问题(1)的另一种表达形式可以将由第二方程求得的消费C 代入到第一个方程获得:MaxU[c(t)] = £ u[w4- ra 一 na -«)] . e'a - e ^dt这就是目标函数的泛函表示最优化问题转化为:MaxV[a(t)] = £ u[w + ra -na - a)]. en, • e~,ydt =「血心)0(切例2.乔根森(利润最大化)模型在乔根森的新古典投资理论中,假设企业利用资本K和劳动L 进行生产,其生产函数具有新古典生产函数Q = Q(K,£)形式新古典 生产函数遵循三个假设,艮P: (1)边际生产力大于零;(2)边际生产 力递减;(3)规模报酬不变P表示产品价格;M表示资本品价格;W表示劳动力的工资;5表示资本折旧率则企业的投资与资本的关— a / ',因此,贴现因子可以写成e以为底的指数形式,目的是为了便于计算3(1+p)'系为/ = K' +冰在任意时刻企业的净收益为:P0K, L) 一 " 一 M(K' + 冰)如果企业贴现率r,未来净收益的贴现值可表示为:N(K, L) 。

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