第 5 次 课教学目的：理解晶体的宏观对称性；理解对称操作；了解对称操作群的概念；了解点群，对称素的概念，了解32个点群；了解7大晶系14种布拉伐格子；教学内容：§1.5 晶体的宏观对称性§1.6 点群§1.7 晶格的对称重点难点：晶体的宏观对称性；对称素；对称操作；对称操作群§1.5 晶体的宏观对称性原子的周期性排列形成晶格，不同的晶格表现出不同的宏观对称性，怎样描述晶体的宏观对称性？ 概括晶体宏观对称性的系统方法就是考察晶体在正交变换的不变性 在三维情况下，正交变换表示为： —— 矩阵是正交矩阵 —— 如图XCH001_062所示，绕z轴转θ角的正交矩阵：P点的坐标变换： —— 中心反演的正交矩阵：P点的坐标变换： —— 一个变换为空间转动，矩阵行列式等于＋1 —— 变换为空间转动加中心反演，矩阵行列式等于－1 —— 一个物体在某一个正交变换下保持不变，称之为物体的一个对称操作，物体的对称操作越多，其对称性越高 1 立方体的对称操作 1) 绕三个立方轴转动：，共有9个对称操作；如图XCH001_026_01所示 2) 绕6条面对角线轴转动，共有6个对称操作；如图XCH001_026_02所示。
3) 绕4个立方体对角线轴转动，共有8个对称操作；如图XCH001_026_03所示 4) 正交变换也是一个对称操作； （不动操作）5) 以上24个对称操作加中心反演仍是对称操作 —— 立方体的对称操作共有48个 —— 4重轴、3重轴和2重轴的标记如图XCH001_056所示 2 正四面体的对称操作 —— 四个原子位于正四面体的四个顶角上，显然正四面体的对称操作包含在立方体操作之中 —— 如图XCH001_027所示 1) 绕三个立方轴转动：，共有3个对称操作； 2) 绕4个立方体对角线轴转动，共有8个对称操作； 3) 正交变换也是一个对称操作； 4) 绕三个立方轴转动：，加上中心反演，共有6个对称操作； 5) 绕6条面对角线轴转动，加上中心反演，共有6个对称操作； —— 正四面体的对称操作共有24个 3 正六面柱的对称操作 1) 绕中心轴线转动：，共有5个对称操作；如图XCH001_028所示 2) 绕对棱中点连线转动，共有3个对称操作； 3) 绕相对面中心连线转动，共有3个对称操作； 4) 正交变换也是一个对称操作； 5) 以上12个对称操作加中心反演仍是对称操作 —— 正六面柱的对称操作共有24个 4 对称素 为简洁明了地概括一个物体的对称性，不去一一列举所有的对称操作，而是描述它所具有的“对称素”。
对称素就是一个物体的旋转轴，以及旋转－反演轴一个物体绕某一个转轴转动，以及其倍数不变时，称该轴为物体n重旋转轴，计为n 一个物体绕某一个转轴转动加上中心反演的联合操作，以及其联合操作的倍数不变时，称该轴为物体n重旋转－反演轴，计为1）立方体 —— 立方轴为4重轴，计为4；同时也是4重旋转－反演轴，计为； —— 面对角线为2重轴，计为2；同时也是2重旋转－反演轴，计为； —— 体对角线轴为3重轴，计为3；同时也是3重旋转－反演轴，计为；（2）正四面体 —— 立方轴是4重旋转－反演轴，但不是4重轴 —— 面对角线是2重旋转－反演轴，但不是2重轴 —— 体对角线轴是3重轴，但不是3重旋转－反演轴 （3）对称素它的含义：先绕轴转动π，再作中心反演，如图XCH001_029所示点实际上是A点在通过中心垂直于转轴的平面M的镜像，表明对称素存在一个对称面M所以称对称素为镜面，用m 或σ 表示4）对称操作群 —— 一个物体的全部对称操作构成一个对称操作群 5 群的基本知识 （1）群的基本性质群代表一组“元素”的集合，G≡{E,A,B,C,D……}这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”，满足下列性质： 1) 集合G中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素，即，若 A, B ∈ G, 则AB=C ∈ G. 叫做群的封闭性。
2) 存在单位元素E, 使得所有元素满足：AE = A 3) 对于任意元素A, 存在逆元素A-1, 有：AA-1=E 4) 元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C （2）几个简单的群 1) 所有正实数(0除外)的集合，以普通乘法为运算法则，组成正实数群 2) 所有整数的集合，以加法为运算法则，组成整数群 一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义，其运算法则就是连续操作 单位元素：不动操作 任意元素的逆元素：绕转轴角度，其逆操作为绕转轴角度；中心反演的逆操作仍是中心反演； 连续进行A和B操作，相对于C操作，如图XCH_001_030所示 A操作：绕OA轴转动，S点转到T’点； B操作：绕OC轴转动，T’点转到S点； 上述操作中S和O没动，而T点转动到T’点相当于一个操作C：绕OS轴转动表示为：C=BA——群的封闭性 可以证明：——满足结合律 §1.6 点群晶体中原子的周期性排列形成了晶体一定的宏观对称性，不同的形式的原子排列形成的宏观对称性，其对称操作也具有一定的限制 描述晶体周期性的布拉伐格子： —— 经历对称操作后晶体不变，相应的布拉伐格子也不变 1. 对称素 设想有一个对称轴垂直于平面，平面内晶面的格点可以用来描述，如图XCH001_031所示。
绕转轴的任意对称操作，转过角度为：； B点转到B’点—该点必有一个格点； A点和B点是等价的，以通过B点的轴顺时针转过： A点转到A’点—该点必有一个格点； 且有：—— n为整数 ，n只能取值：－1，0，1，2，3 —— 相应的的角度： 任何晶体的宏观对称性只能有以下几种对称素：例如长方形、正三角形、正方形和正六方形可以在平面内周期性重复排列 —— 而正五边形及其它正n边形则不能作周期性重复排列，如图XCH001_032所示 2. 点群 以10种对称素为基础组成的对称操作群，一般称为点群 由对称素组合成群时，对称轴的数目、对称轴之间的夹角将受到严格的限制， 例如：两个2重轴之间的夹角只能为： 如果存在一个n重轴和与之垂直的二重轴，就一定存在n个与之垂直的二重轴 如图XCH001_033所示，2个二重轴2和2’；绕轴2的转动计为A，绕轴2’的转动计为B连续进行操作AB，与之垂直的轴上一点N回到原处，轴2转到2”的位置 A和B均为对称操作：——也是对称操作 C的操作则是绕NN’轴转过角度 其 —— 3. 32种点群 —— 理论证明由10种对称素只能组成32种不同的点群即晶体的宏观对称只有32个不同类型。
—— 不动操作，只含有一个元素，表示没有任何对称性的晶体； 回转群—— 只包含一个旋转轴的点群：，共4个；下标表示是几重旋转轴； 双面群—— 包含一个n重旋转轴和n个与之对应的二重轴的点群：，共4个； 群——群加上中心反演 群——群加上反演面 群——群加上与n重轴垂直的反演面，共4个 群——群加上含有n重轴的反演面，共4个 §1.7 晶格的对称由32种点群描述的晶体对称性，对应的只有14种布喇菲格子，分为7个晶系 单胞的三个基矢沿晶体的对称轴或对称面的法向，在一般情况下，它们构成斜坐标系它们间的夹角用表示，即；； 按坐标系性质划分的七大晶系： 晶系 单胞基矢的特性 布喇菲格子 所属点群 三斜晶系 ，夹角不等 简单三斜 单斜晶系 ， 简单单斜，底心单斜正交晶系 ， 简单正交，底心正交体心正交，面心正交三角晶系 ， 三角 四方晶系 ，简单四方，体心四方六角晶系 ， 六角 立方晶系 ，简单立方，体心立方面心立方 —— 14种布拉伐原胞 1） 简单三斜 —— 如图XCH001_034_01 2） 简单单斜 —— 如图XCH001_034_02 3） 底心单斜 —— 如图XCH001_034_03 4） 简单正交 —— 如图XCH001_034_04 5） 底心正交 —— 如图XCH001_034_05 6） 体心正交 —— 如图XCH001_034_06 7） 面心正交 —— 如图XCH001_034_07 8） 三角 —— 如图XCH001_034_08 9） 简单四方（四角） —— 如图XCH001_034_09 10） 体心四方（四角） —— 如图XCH001_034_10 11） 六角 —— 如图XCH001_034_11 12） 简立方 —— 如图XCH001_034_12 13） 体心立方 —— 如图XCH001_034_13 14） 面心立方 —— 如图XCH001_034_14 —— 大个晶系晶格的关系, 如图XCH001_034_15所示 作业：1.12。