第十五章 分式教材分析本章的主要内容包括：分式的概念，分式的基本性质，分式的约分与通分，分式的加、减、乘、除运算，整数指数幂的概念及运算性质，分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法 全章共包括三节： 16．1 分式 16．2 分式的运算 16．3 分式方程 其中，16．1 节引进分式的概念，讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形，是全章的理论基础部分11．2节讨论分式的四则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数，这给运算带来便利11．3节讨论分式方程的概念，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程解方程中要应用分式的基本性质，并且出现了必须检验（验根）的环节，这是不同于解以前学习的方程的新问题根据实际问题列出分式方程，是本章教学中的另一个难点，克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力 分式是不同于整式的另一类有理式，是代数式中重要的基本概念；相应地，分式方程是一类有理方程，解分式方程的过程比解整式方程更复杂些。
然而，分式或分式方程更适合作为某些类型的问题的数学模型，它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用 借助对分数的认识学习分式的内容，是一种类比的认识方法，这在本章学习中经常使用解分式方程时，化归思想很有用，分式方程一般要先化为整式方程再求解，并且要注意检验是必不可少的步骤 （二）本章知识结构框图 （三）课程学习目标 本章教科书的设计与编写以下列目标为出发点： 1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式 2．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则 3．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则 4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系 5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想 （四）课时安排 本章教学时间约需13课时，具体分配如下： 16．1 分式 2课时 16．2 分式的运算 6课时 16．3 分式方程 3课时 数学活动 小结 3课时15·1·1分式（1）一、教学目标1、使学生了解分式的概念，明确分式中分母不能为0是分式成立的条件。
2、使学生能求出分式有意义的条件3、通过对分式的学习，培养学生严谨的学习态度，培养学生数学建模的思想二、教学重点、难点重点：理解分式的概念，明确分式成立的条件难点：明确分式有意义的条件三、教学方法：分组讨论四、教学过程问题情境1、在小学人们学习了分数，那么5÷3可以写成什么？2、根据上面的问题，填空：（1）长方形的面积为10cm2，长为7cm,宽 cm；长方形的面积为S，长为a，宽应为 2）把体积为200cm的水倒入底面积为33cm2的圆柱形容器中，水面高度为 cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度为 新课：请同学们根据问题1 的回答，回答出第2题的问题教师与学生一起及时纠正学生出现的错误学生回答，教师写出答案：（1） ， 2) ， 新课：下面请同学们看一下这四个式了，看它们有什么相同点和不同点？学生根据自己的观察，说出 、 是分数，是整式而另两个式子，看他们有什么特点,请同学们自己总结一下,学生说出分母中有字母请大家归纳一下这个式子是什么式子,有什么特点?学生回答分母中含有字母学生归纳：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫分式。
引导学生回答出，（1）分式与分数一样，A叫分子，B叫分母那么小学学习过的分数中的分母有什么限制，（分母不能为零分式中对分母的要求也是分母不能为零对于分式分母为零时分式才有意义2）分母中含有字母请同学们再举出一些分式的例子例1 填空：（1）当x 时，分式 有意义2）当x 时，分式 有意义3）当b____时，分式 有意义4）当x、y满足关系 时，分式 有意义解：（1）当分母3x ≠ 0时，x ≠ 0时，分式 有意义2）当分母x-1≠ 0时，x ≠1时，分式 有意义3)当分母5-3b ≠ 0时，b ≠ 时，分式 有意义4)当分母x-y ≠ 0时，x ≠y 时，分式 有意义教师与学生共同讨论完成学生说出解题过程，教师板书学生归纳总结：（1）分式有意义，分母不能为0这是分式有意义的前提2）注意解题格式，分式有意义与分子无关3）请同学们总结一下分式什么条件下没有意义？五、课堂练习： 教师巡视，指出学生练习中的错误六、小结：请同学们总结下本节课里你有哪些收获？ 学生说出结论，教师补充七、作业：八、教学反思： 这一课学生对什么是分式掌握较好，能区分整式与分式，对保证分式有意义需满足什么条件能很好地指出来。
15·1·2分式的基本性质(1)一、教学目标1、使学生理解分式的基本性质2、使学生运用分式的基本性质对分式进行恒等变形3、通过对分式的基本性质的学习培养学生抽象概括的能力二、教学重点、难点重点：理解分式的基本性质难点：分式基本性质的运用三、教学方法：启发式教学四、教学过程复习提问：1、什么叫分式？ 2、小学学习的分数的基本性质是什么？举例说明引言：我们小学学习了分数的基本性质，今天我们为学习分式的基本性质新课：根据分数的基本性质，分式可仿照分数的性质 ＝ ； = （C≠0）请同学们根据上面的式子和以前学过的分数的基本性质，总结出分式的基本性质是什么？学生回答出来，教师及学生补充完整分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变 ＝ ； = （C≠0）注意：分式的基本性质的条件是乘（除以）一个不等于0的整式指出分式的性质与分数的性质的不同，乘以（除以）一个不等于0的整式分数是乘以（除以）一个不等于0的数例1 填空：（1） = ； = (2) = ； =。
分析：引导学生根据分式的基本性质，来对分式进行化简1）是乘以一个整式ab,注意是分子和分母都乘以这个整式2）是分子和分母都乘以b,分式的值不变3）是分子x2+xy=x(x+y),对照分子，可以看出分子和分母都除以x,分式的值不变，所以X4）把分母分解因式x2-2x=x(x-2),对照分母，可以看出分子、分母都除以x，分式的值不变，所以填1五、课堂练习：教师巡视，与学生一起来完成练习及时纠正练习中的错误 六、小结：请同学们总结下本节课里你有哪些收获？ 分式的基本性质成立的条件是都乘以或除以一个不等于0的整式七、作业：八、教学反思：这一课学生能用类比的方法很快从分数的基本性质得到分式的基本性质但在实际运用中还有些同学对用字母表示的式子不习惯15·1·2分式的基本性质(2)一、教学目标1、使学生在理解分式的基本性质的基础上对分式进行通分和约分2、通过对分式的化简来提高学生的运算能力3、通过对分式化简的学习，渗透类比转化的数学思想二、教学重点、难点重点：分式的通分和约分难点：灵活运用分式基本性质进行分式的通分和约分三、教学方法：启发式教学四、教学过程复习提问：1、分式的基本性质是什么？ 2、小学学习的分数的约分和通分的意义是什么？ 把 与 通分，把 约分。
3、写出乘法公式的平方差公式和完全平方公式 学生回答问题,教师及时指出学生出现的错误引言：我们上节学习了分数的基本性质，今天我们来学习分式基本性质的运 用新课：根据分数的基本性质，我们可看可以对分数进行通分和约分，怎样对分数进行约分和通分在练习中已经复习过了，下面我们利用分式的基本性质来对分式进行通分和约分看下面的例题例1 约分：（1） ; (2) 分析：（1）-25a2bc3与15ab2c的公因式为5abc，与因式分解的公因式的确定一样2）分子x2-9=(x+3)(x-3);分母x2+6x+9=(x+3) 2,这样分子与分母的公因式就确定了，可以进行约分了由例题知约分最关键的是把公因式约去，所以公因式的确定是主要的，多项式则先分解因式，然后约分例2 通分： （1） 与 ；（2） 与 分析：引导学生归纳出分式通分的过程和依据1）先确定分母2a2b与ab2c 的最简公分母是2a2b2c然后乘以一个适当的整式2）最简分母是（x+5)(x-5).(3)解题时分子与分母同乘以或除以同一个整式约分的关键是最简公分母的确定，对单项式来说，系数是最小公倍数，相同字母取指数最高次幂；对多项式来说，先分解因式，然后取相同项的最高次幂。
五、课堂练习：教师巡视，学生练习六、小结：通过对分式的通分和约分的学习你有哪些收获？ 在解题时应注意哪些问题？七、作业：八、教学反思：这一课学生对通分和约分的基本步骤掌握的比较好，但约分的时候也有忘了遇到多项式要进行因式分解的，通分的时候找最简公分母找不准的15·2分式的运算(1)分式的乘除法一、教学目标1、使学生在理解分式的乘除法法则,并用法则进行运算.2、通过对分式的乘除法的学习,在四、教学过程中体现类比的转化思想二、教学重点、难点重点：分式的乘除法运算难点：分子与分母是多项式时的分式的乘除法三、教学方法：启发式教学四、教学过程复习提问：1、分数的乘除法的法则是什么？计算： × ； ÷ 2、什么是倒数？ 学生计算并回答问题，教师及时纠正出现的错误引言：我们在小学学习了分数的乘除法，对于分式如何来进行计算呢？这就是我们这节要学习的内容新课：学生阅读教材13页引例 由（1）分数的计算得： × = ； ÷= × = 根据上面的计算， 请同学们总结一下对分式的乘除法的法则是什么？学生说出自己的想法，师生共同总结分式的乘除法的法则 。
分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 · = ； ÷ = · 。