二、公式推导 1 、实例数据 河北省沿海高速公路一缓和曲线（如图）： AB 段为缓和曲线段， A 为 ZH 点， B 为 HY 点， RB=800m ； A 点里程为 NK0+080 ，切线方位角为 θA=100 ° 00 ′ 24.1 ″，坐标为 XA=4355189.493,YA=476976.267 ； B 点里程为 NK0+158.125 ，切线方位角为 θB=102 ° 48 ′ 15.6 ″，坐标为 XB=4355174.669 ， YB=477052.964 ，推求此曲线段内任意点坐标 2 、公式推导及实例计算 方法一：弦线偏角法 1 ）公式推导 由坐标增量的计算方法我们不难理解，求一点坐标可以根据其所在直线的方位角以及直线上另一点的坐标和距待求点的距离所以我们可以利用 ZH 点，只要知道待求点距 ZH 点的距离（弦长 S ）和此弦与 ZH 点切线方位角的夹角（转角 a ），即可求出该点坐标 根据回旋线方程 C=RL ，用 B 点数据推导出回旋线参数： C=RLS=800*78.125=62500 （ LS 为 B 点至 ZH 点的距离） 设待求点距 ZH 点距离为 L 因回旋线上任意点的偏角 β0=L2/2RLS, 且转角 a=β0/3 ， 可得该点转角 a 。
曲线左转时 a 代负值） 根据缓和曲线上的弧弦关系 S=L-L5/90R2LS2 ， 可以求出待求点至 ZH 点的弦长 然后我们利用坐标增量计算公式可以推导出缓和曲线任意点坐标计算公式： X=XA+S*cos （ θA+a ） =4355189.493+ （ L-L5/90R2LS2 ） *cos （ θA+L2/6RLS ） Y=YA+S*sin （ θA+a ） =476976.267+ （ L-L5/90R2LS2 ） * sin （ θA+L2/6RLS ） 式中 θA=100 ° 0 ′ 24.1 ″ 2 ）实例计算 现在我们利用此公式计算桩号为 NK0+140 的坐标 第一步，求出 L=140-80=60 米 第二步，求出 a=180L2/6 π RLS=0 ° 33 ′ 00.14 ″ 第三步，求出 S=L-L5/90R2LS2=60-605/ （ 90*8002*78.1252 ） =59.998 第四步：将 a ， S 值代入缓和曲线计算公式，可求出桩号为 NK0+160 点的坐标为： X=4355178.501 ， Y=477035.249 同理，我们可求出其它桩号的坐标。
方法二：坐标转换法 1 ）公式推导 首先我们建立坐标系，以 ZH 点为坐标原点，其切线方向为 X 轴，过该点的半径方向为 Y 轴（如图）根据缓和曲线参数方程： x=L-L5/40R2LS2 ； y=L3/6RLS 计算出曲线上各点在此坐标系下的坐标（ x ， y ）然后利用坐标转换公式 X=XA+xcosa-ysina Y=YA+xsina+ycosa 将 (x,y) 代入该式，即可求出缓和曲线上各点的坐标计算公式： X=4355189.493+ （ L-L5/40R2LS2 ） cosθA - （ L3/6RLS ） sinθA ； Y=476976.267+ （ L-L5/40R2LS2 ） sinθA + （ L3/6RLS ） cosθA 式中 θA=100 ° 0 ′ 24.1 ″ 2 ）实例计算 现利用此公式计算桩号为 NK0+140 的坐标 第一步：求出 L=140-80=60 米 第二步：求出该点在新坐标系下的坐标 x=59.995 ； y=0.576 第三步：将 L 、 x 、 y 的值代入公式可得 NK0+140 的坐标为： X=4355178.501 ， Y=477035.249 。
同理可计算出曲线上其他对应桩号的坐标： NK0+100 ： X=4355185.997 ； Y=476995.959 NK0+120 ： X=4355182.375 ； Y=477015.628 。