单摆测量重力加速度实验的误差分析单摆测量重力加速度实验的误差分析吉恒（云南省通海县第二中学，云南，玉溪652701）单摆实验是普通物理的基本实验之一，同时也是必做实验之一其原理简单、易懂，原则上只要在同一地点进行实验，都应得到相同结果，但在实际操作过程中一些不可避免的因素会影响实验结果的精确度为提高实验的精确度，减小各种不可避免因素给实验结果带来的影响，本文从以下几方面着手对此实验进行分析和研究首先，对摆角进行分析，因为随摆角大小的变化，摆遵循的运动规律是不一样的在实验原理中，一般是把它理想化地当作简谐运动来处理，让其满足简谐运动的运动方程，然后来求解其周期公式，事实上这是有条件限制的因此本文采用了增维精细积分的方法来讨论单摆在什么样的摆角情况下才能够做线性动力学分析，也就是单摆满足简谐运动运动规律的摆角范围其次，单摆摆长的测量也是引起实验误差的原因之一本文就单摆摆长的不同测量方法带来的联标准不确定度（由实验仪器的精确度引进）进行计算、分析、比较，以选取最佳测量方法1.单摆测量重力加速度的实验原理如图1所示，单摆就是用一根不可伸长的轻线悬挂一个小球，使其可绕摆的支点做摆动，当小球作摆角很小的摆动时就是一个单摆。
设小球的质量为m,其质心到支点o的距离为1（摆长）建立自然坐标系，根据受力分析，作用在小球上的切向力的大小为mgsin，方向总指向平衡点o,当很小时，有sin,此时切向力的大小近似为mg法向，绳的张力和重力的分力相平衡根据牛顿第二运动定律，质点动力学方程为：matmgd2因at11,代入上式得mg(1)图1单摆dt2上式即为单摆的运动微分方程对上式移项得到驾+为=0dt2I若令y=g2(2)则有汇+喏0dt20其解为0=/cos(卬+a)(3)式中.4与a是待定常数由于单摆运动的周期性，应有0 =4cos[g(f+T)+a]即0 =Acos(gZ+gT+a)又因余弦函数的周期为2万，故gT=2%将式(2)代入得0 =2理⑷或g=4/，(5)实验时，若只测量一个时间周期，则测量误差相对较大，因此一般采用测量连续摆动n个周期的时间t,此时(5)式变为：以上为基本实验原理，理想情况(即忽略复摆，空气阻力，空气浮力等因素对实验的影响)下只要在同一地点进行实验，都应得到相同结果，但在实际操作过程中一些不可避免的因素会影响实验结果的精度2.实验改进2.1 摆角范围讨论在上述实验原理中，谈到当摆角很小时，可将sin近似为处理，但未确切说明到底要多小；同时对角增大了又是怎样的情况也没有考虑进来。
因此，若要建立单摆模型，让单摆摆动起来,记摆角范围的大小就是首要解决的问题⑺则单摆非线性动力学方程变为：g.p—sinl(8)根据增21思想，通过一维变量x式的齐次状态方程：0的引入,可将式（8）写成矩阵形于是式（8）简写为VHV根据矩阵分析理论，0gsinl0(9)其解为0g.一sinl0Ht(10)VeV0其中，V0为初始状态向量，V为任意时刻的状态向量为得解的递推表达式，将时间轴等分为N&,即t0,t1,t2,,tj,tj1,tN时间步长为ttj1tj则由//时刻的状态向量匕，可求的时刻的状态向量匕+1即(11)其中指数矩阵*4采用高精度、高效率的精细积分法以上是采用高精度、高效率的增维精细积分推导出的求解单摆非线性动力摆角和摆速（取摆角初始速度都为零）的迭推公式通过单摆线性动力响应与非线性动力响应的对比分析，得出了能简化为线性动力问题的最大摆角值及最大摆角和摆长对非线性动力问题摆角相位、摆速相位的变化规律,即当初始摆角小于4=10"时，采用非线性动力方程求解的摆角时程曲线、摆角速度时程曲线分别与同一问题线性动力方程求得的摆角时程曲线、摆角速度时程曲线几乎完全重合，达到同一周期两者间的相位差很小，可以忽略不计。
但是当初始摆角超过q=10〃后，随着初始摆角的增大，采用非线性动力方程求得的摆角、摆角速度达到某一平衡位置所需的时间分别比采用线性动力方程所得的摆角、摆角速度达到同一周期平衡位置所需的时间越来越长因此，当初始摆角大于%=10"后,不能采用简化的线性动力方程来求解单摆动力响应，否则所得结果与实际存在较大的差距，而应采用非线性动力方程求解所以，若要采用简谐运动方程来求解单摆周期公式，实验中单摆的摆角应该小于10”，误差也才能因此而减小换言之，只有在单摆摆动的角度小于10"的情况下，单摆的微分方程才可表示为式（1）的形式，才可求解得（12）相应地，重力加速度的表达式为g=4/《此即为实验原理中介绍的周期公式和重力加速度公式的来由2.2摆长的测量方法选择在测量摆长的过程中，方法选择的不同，误差的来源以及传递就不同，引起的误差大也就不一样在选用的长度测量工具都为米尺和游标卡尺的情况下（即仪器的精确度等级相同，其极限误差值△相同），测量方法对由实验仪器引入的B类标准不确定度U⑶的影响是不同的实验中用毫米刻度的米尺测量摆线长度，用游标卡尺测量摆球直径，其中米尺的极限误差为A=0.1mm，游标卡尺的极限误差为A=0.02mm摆长的测量方法一般如下三种。
如图2所示，li为支点到摆球上端的距离，l2为支点到摆球下端的距离,D为摆球的直径方法1：l 11 l2 /2其联标准不确定度为:U B0 1 2( )2 0.0408mm23方法2:图2单摆摆长1112l111d2B类标准不确定度为:20.0954mm方法3:ll2d2B类标准不确定度为：U B20.0954mm显然，选择第一种测量方法由实验仪器而引入的B类标准不确定度是最小的，即此种测量方法给实验结果带来的误差相比较而言最小，也就是说实验值最接近真实值，所以为提高实验精确度应采用第一种测量方法。