函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 一、知识归纳：1. 求函数的解析式（1）求函数解析式的常用方法：①换元法（ 注意新元的取值范围）②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）③整体代换（配凑法）④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）（2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用2. 求函数的定义域求用解析式y＝f（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若f（x）是整式，则函数的定义域是实数集R；②若f（x）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f（x）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f（x）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.3. 求函数值域（最值）的一般方法：（1）利用基本初等函数的值域；（2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如型的函数）（4）函数的单调性：特别关注的图象及性质（5）部分分式法、判别式法（分式函数）（6）换元法（无理函数）（7）导数法（高次函数）（8）反函数法（9）数形结合法4. 求函数的单调性（1）定义法：（2）导数法： （3）利用复合函数的单调性：（4）关于函数单调性还有以下一些常见结论：①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性； （5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等（6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。
5. 函数的奇偶性奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f（x） 与f（－x）的关系f（x） －f（－x）＝0f（x） ＝f（－x） f（x）为偶函数；f（x）+f（－x）＝0f（x） ＝－f（－x） f（x）为奇函数判别方法：定义法，图象法，复合函数法应用：把函数值进行转化求解6. 周期性：定义：若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+T）＝f（x），则T为函数f（x）的周期其他：若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+a）＝f（x－a），则2a为函数f（x）的周期.应用：求函数值和某个区间上的函数解析式二、典型例题分析例1. 若集合A＝{a1，a2，a3}，B＝{b1，b2} 求从集合A到集合B的映射的个数分析：解决这类问题，关键是要掌握映射的概念：设A、B是两个集合，对于集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则f，若集合B中都有唯一确定的元素和它对应，这时对应法则f叫做从集合A到集合B的映射这里要掌握关键的两个词“任何”、“唯一”对于本例，集合A＝{a1，a2，a3}中的每一个元素的象都有b1或b2这两种情形，由乘法原理可知，A到B的映射的个数共有N＝2·2·2＝8个。
例2. 线段|BC|＝4，BC的中点为M，点A与B、C两点的距离之和为6，设|AM|＝y，|AB|＝x，求y＝f（x）的函数表达式及这函数的定义域解：1°若A、B、C三点不共线，如图所示，由余弦定理可知，x2＝22+y2－4ycos∠AMB ①（6－x）2＝22+y2－4ycos（180°－∠AMB） ②①+② x2+（6－x）2＝2y2+8 ∴y2＝x2－6x+14又 x2－6x+14＝（x－3）2+5恒正，∴又三点A、B、C能构成三角形 ∴1＜x＜52°若三点A、B、C共线，由题意可知，x+4＝6－x，x＝1 或4+6－x＝x x＝5综上所述： 说明：第一，首先要分析三点A、B、C是否在同一条直线上，因为由题意，A、B、C不一定能构成三角形，它们也可在同一条直线上，所以要分两种情形来讨论第二，实际问题在求解析式时要特别注意函数的定义域例3. 设f（x）为定义在R上的偶函数，当x≤－1时，y＝f（x）的图象是经过点（－2，0），斜率为1的射线，又在y＝f（x）的图象中有一部分是顶点在（0，2），且过点（－1，1）的一段抛物线，试写出函数f（x）的表达式，并在图中作出其图象。
解：（1）当x≤－1时，设f（x）＝x+b∵射线过点（－2，0） ∴0＝－2+b即b＝2，∴f（x）＝x+2 （2）当－1 例5. 若对于任何实数x，不等式：恒成立，求实数a的取值范围解：令f（x）＝|x－1|+2|x－2|，去绝对值把f（x）表示成分段函数后为 5－3x x＜1 f（x）＝ 3－x 1≤x≤2 3x－5 x＞2作出y＝f（x）的图象如图，由此可知f（x）的最小值为1，f（x）＞a对一切实数x恒成立，则a＜1说明：该题看上去是一个不等式的问题，若用去绝对值分类讨论的方法来求解则比较繁锁，而如果注意到不等式左边是一个关于x的函数，只要利用数形结合的思想求出此函数的最小值就很快解决了问题，这种解题思想应引起我们的注意另外，对于函数f（x）＝|x－1|+2|x－2|只要把它写成分段函数的形式，作出函数的图象，则该函数的所有性质，包括函数的单调区间，值域等一切问题都可以迎刃而解了例6. 求函数的值域解：令，则13－4x＝t2 ∴该二次函数的对称轴为t＝1，又t≥0由二次函数的性质可知y≤4，当且仅当t＝1即x＝3时等式成立，∴原函数的值域为（－∞，4）说明：对于所有形如的函数，求值域时我们可以用换元法令转化为关于t的二次函数在区间[0，+∞）上的最值来处理。 这里要注意t≥0的范围不能少如：已知f（x）的值域为，试求函数的值域该题我们只需要把f（x）看成是一个变量，则求值域时仍可用上述换元法，但是如果被开方数不是关于x的一次式，而含x的平方项，则就不能用上述换元法了如求函数的值域，若令，则x无法用t来表示这里我们如果注意到x的取值范围：－2≤x≤2，则－1≤≤1的话，我们就可以用三角换元：令θ∈[0，π]，问题也就转化为三角函数求最值了同样我们作三角换元时，要注意θ的限制条件，因为当θ取遍0到π之间的每一个值时，恰好可以取遍－1到1之间的每一个值，若不限制θ的范围，则根号无法直接去掉，就会给我们解题增添麻烦例7. 求下列函数的最值1） （2）解：（1）先求出函数的定义域：∴－2≤x≤7，又在区间[－2，7]上函数单调递增，单调递增，所以在定义域内也单调递增当x＝－2时，；当x＝7时，（2）∵≥0 ∴y2＝x2（1－x2）由基本不等式可知：y2＝x2（1－x2）≤，又y≥0 ∴，说明：对于一些比较复杂的函数，求值域或最值时，如果我们能利用函数的单调性、奇偶性或运用基本不等式，问题往往会很快得到解决在运用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”的条件，特别是要注意等号能否成立。 例8. 设a＞0，x∈[－1，1]时函数y＝－x2－ax+b有最小值－1，最大值1，求使函数取得最小值和最大值时相应的x的值解：∵a＞0，∴ ＜0，又定义域为[－1，1]∴x＝1时，即－1－a+b＝－1 ∴a－b＝0下面分a的情形来讨论：1°当0＞≥－1即0＜a≤2时，当时，即，则 ∴a2+4a－4＝0，又a∈（0，2） ∴，则2°当＜－1，即a＞2时，当x＝－1时∴－1+a+b＝1，a+b＝2 又a＝b ∴a＝1 与a＞2矛盾，舍去综上所述：x＝1时，，时例9. 已知函数y＝f（x）＝（a，b，c∈R，a>0，b>0）是奇函数，当x>0时，f（x）有最小值2，其中b∈N且f（1）< （1）试求函数f（x）的解析式；（2）问函数f（x）的图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x），即∴c＝0，∵a>0，b>0，x>0，∴f（x）＝≥2，当且仅当x＝时等号成立，于是2＝2，∴a＝b2，由f（1）＜得＜即＜，∴2b2－5b+2＜0，解得＜b＜2，又b∈N，∴b＝1，∴a＝1，∴f（x）＝x+ （2）设存在一点（x0，y0）在y＝f（x）的图象上，并且关于（1，0）的对称点（2－x0，－y0）也在y＝f（x）的图象上，则消去y0得x02－2x0－1＝0，x0＝1± ∴y＝f（x）的图象上存在两点（1+，2），（1－，－2）关于（1，0）对称 例10. 已知奇函数f（x）的定义域为R，且f（x）在［0，+∞）上是增函数，是否存在实数m，使f（cos2θ－3）+f（4m－2mcosθ）>f（0）对所有θ∈［0，］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由 解：∵f（x）是R上的奇函数，且在［0，+∞）上是增函数，∴f（x）是R上的增函数 于是不等式可等价地转化为f（cos2θ－3）>f（2mcosθ－4m），即cos2θ－3>2mcosθ－4m，即cos2θ－mcosθ+2m－2>0 设t＝cosθ，则问题等价地转化为函数g（t）＝t2－mt+2m－2＝（t－）2－+2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g（t）在［0，1］上的最小值为正 ∴当<0，即m<0时，g（0）＝2m－2>0m>1与m<0不符；当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g（m）＝－+2m－2>04－21，即m>2时，g（1）＝m－1>0m>1 ∴m>2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2 另法（仅限当m能够解出的情况）cos2θ－mcosθ+2m－2>0对于θ∈［0，］恒成立，等价于m>（2－cos2θ）/（2－cosθ） 对于θ∈［0，］恒成立∵当θ∈［0，。
例5. 若对于任何实数x，不等式：恒成立，求实数a的取值范围解：令f（x）＝|x－1|+2|x－2|，去绝对值把f（x）表示成分段函数后为 5－3x x＜1 f（x）＝ 3－x 1≤x≤2 3x－5 x＞2作出y＝f（x）的图象如图，由此可知f（x）的最小值为1，f（x）＞a对一切实数x恒成立，则a＜1说明：该题看上去是一个不等式的问题，若用去绝对值分类讨论的方法来求解则比较繁锁，而如果注意到不等式左边是一个关于x的函数，只要利用数形结合的思想求出此函数的最小值就很快解决了问题，这种解题思想应引起我们的注意另外，对于函数f（x）＝|x－1|+2|x－2|只要把它写成分段函数的形式，作出函数的图象，则该函数的所有性质，包括函数的单调区间，值域等一切问题都可以迎刃而解了例6. 求函数的值域解：令，则13－4x＝t2 ∴该二次函数的对称轴为t＝1，又t≥0由二次函数的性质可知y≤4，当且仅当t＝1即x＝3时等式成立，∴原函数的值域为（－∞，4）说明：对于所有形如的函数，求值域时我们可以用换元法令转化为关于t的二次函数在区间[0，+∞）上的最值来处理。
这里要注意t≥0的范围不能少如：已知f（x）的值域为，试求函数的值域该题我们只需要把f（x）看成是一个变量，则求值域时仍可用上述换元法，但是如果被开方数不是关于x的一次式，而含x的平方项，则就不能用上述换元法了如求函数的值域，若令，则x无法用t来表示这里我们如果注意到x的取值范围：－2≤x≤2，则－1≤≤1的话，我们就可以用三角换元：令θ∈[0，π]，问题也就转化为三角函数求最值了同样我们作三角换元时，要注意θ的限制条件，因为当θ取遍0到π之间的每一个值时，恰好可以取遍－1到1之间的每一个值，若不限制θ的范围，则根号无法直接去掉，就会给我们解题增添麻烦例7. 求下列函数的最值1） （2）解：（1）先求出函数的定义域：∴－2≤x≤7，又在区间[－2，7]上函数单调递增，单调递增，所以在定义域内也单调递增当x＝－2时，；当x＝7时，（2）∵≥0 ∴y2＝x2（1－x2）由基本不等式可知：y2＝x2（1－x2）≤，又y≥0 ∴，说明：对于一些比较复杂的函数，求值域或最值时，如果我们能利用函数的单调性、奇偶性或运用基本不等式，问题往往会很快得到解决在运用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”的条件，特别是要注意等号能否成立。
例8. 设a＞0，x∈[－1，1]时函数y＝－x2－ax+b有最小值－1，最大值1，求使函数取得最小值和最大值时相应的x的值解：∵a＞0，∴ ＜0，又定义域为[－1，1]∴x＝1时，即－1－a+b＝－1 ∴a－b＝0下面分a的情形来讨论：1°当0＞≥－1即0＜a≤2时，当时，即，则 ∴a2+4a－4＝0，又a∈（0，2） ∴，则2°当＜－1，即a＞2时，当x＝－1时∴－1+a+b＝1，a+b＝2 又a＝b ∴a＝1 与a＞2矛盾，舍去综上所述：x＝1时，，时例9. 已知函数y＝f（x）＝（a，b，c∈R，a>0，b>0）是奇函数，当x>0时，f（x）有最小值2，其中b∈N且f（1）< （1）试求函数f（x）的解析式；（2）问函数f（x）的图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x），即∴c＝0，∵a>0，b>0，x>0，∴f（x）＝≥2，当且仅当x＝时等号成立，于是2＝2，∴a＝b2，由f（1）＜得＜即＜，∴2b2－5b+2＜0，解得＜b＜2，又b∈N，∴b＝1，∴a＝1，∴f（x）＝x+ （2）设存在一点（x0，y0）在y＝f（x）的图象上，并且关于（1，0）的对称点（2－x0，－y0）也在y＝f（x）的图象上，则消去y0得x02－2x0－1＝0，x0＝1± ∴y＝f（x）的图象上存在两点（1+，2），（1－，－2）关于（1，0）对称 例10. 已知奇函数f（x）的定义域为R，且f（x）在［0，+∞）上是增函数，是否存在实数m，使f（cos2θ－3）+f（4m－2mcosθ）>f（0）对所有θ∈［0，］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由 解：∵f（x）是R上的奇函数，且在［0，+∞）上是增函数，∴f（x）是R上的增函数 于是不等式可等价地转化为f（cos2θ－3）>f（2mcosθ－4m），即cos2θ－3>2mcosθ－4m，即cos2θ－mcosθ+2m－2>0 设t＝cosθ，则问题等价地转化为函数g（t）＝t2－mt+2m－2＝（t－）2－+2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g（t）在［0，1］上的最小值为正 ∴当<0，即m<0时，g（0）＝2m－2>0m>1与m<0不符；当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g（m）＝－+2m－2>04－21，即m>2时，g（1）＝m－1>0m>1 ∴m>2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2 另法（仅限当m能够解出的情况）cos2θ－mcosθ+2m－2>0对于θ∈［0，］恒成立，等价于m>（2－cos2θ）/（2－cosθ） 对于θ∈［0，］恒成立∵当θ∈［0，。
