三角形外接圆半径的求法及应用方法一：R＝ab/(2h)三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商 AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径．求证 AB·AC＝AE·AD． 证：连接AO并延长交圆于点E，连接BE， 则∠ABE＝90°. ∵∠E＝∠C， ∠ABE＝∠ADC＝90°， ∴Rt△ABE∽Rt△ADC， ∴， ∴ AB·AC＝AE·AD 方法二：2R＝a/SinA，a为∠A的对边 在锐角△ABC中，外接圆半径为R求证： 2R＝AB/SinC 证：连接AO并延长交圆于点E，连接BE， 则∠ABE＝90°. ∴AE＝AB/SinE ∵∠C＝∠E，SinC ＝SinE ∴AE＝AB/SinC ∴2R＝AB/SinC 若C为钝角，则SinC＝Sin（180o－C）应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。
例1 已知：如图，在△ABC 中，AC＝13，BC＝14，AB＝15，求△ABC外接圆⊙O的半径r.分析：作出直径AD，构造Rt△ABD.只要求出△ABC中BC边上的高AE，用方法一就可以求出直径AD.解：作AE⊥BC，垂足为E.设CE＝x, ∵AC2-CE2＝AE2＝AB2-BE2 ，∴132-x2＝152-(14-x)2 ∴x=5,即CE＝5，∴AE＝12 R＝ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8∴△ABC外接圆⊙O的半径r为.例2 已知：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，AC＝5，求△ABC的外接圆的半径R. 分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特殊角），求外接圆的半径 例3 已知：如图，在△ABC 中，AC＝2，BC＝3，∠C＝60°，求△ABC外接圆⊙O的半径R. 分析：考虑求出角的对边长AB，然后用方法一或方法二解题. 解：作直径AD，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E. 则∠DBA＝90°，∠D＝∠C＝60°， ∠CAE＝∠DAB＝ 90°－ 60°＝30° CE＝AC＝1，AE＝，AB=√7∴R=AC·AB/2AE=2x√7/(2x)应用三、已知三角形的一边长二角度或对角的度数（特殊角），求它的外接圆的半径。
用方法二例4 已知AD=5,AC=7,CD=3,AB=10√3，求它的外接圆的半径解 从A作AM⊥BC于M，则AD2－MD2＝A M2 ＝AC2－(MD＋CD)2．即 52－MD2＝72－(MD＋3)2． 得R＝14， 则△ABC外接圆面积S＝πR2＝196π．例5 如图3，已知抛物线y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上， 求①抛物线的顶点坐标； ②抛物线与x轴的交点B、C的坐标； ③△ABC的外接圆的面积． 解 ①A(2，－9)； ②B(－1，0)； C(5， 0)． ③从A作AM⊥x轴交于M点， 则BM＝MC＝3．AM ＝9． ∴R＝5△ABC外接圆面积S＝πR2＝25π三角形内切圆半径r的求法1 ∵S△ABC=1/2(a+b+c)r ∴r=2S△ABC/(a+b+c)2 Rt△ABC中,r=(a+b-c)/2三角形的内切圆和外接圆【知识要点】1、三角形的外接圆 （1）过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形的外心。
三角形的外心到各顶点的距离相等．（2）锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中点，外接圆半径(为斜边长)．2、三角形的内切圆 （1）到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线的交点，叫三角形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部． （2）若三角形的面积为，周长为a+b+c,则内切圆半径为:，当为直角三角形的直角边，为斜边时，内切圆半径或.3、圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的对角互补；（2）圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角．注意：①圆内接平行四边形为矩形；②圆内接梯形为等腰梯形．4、两个结论： 圆的外切四边形对边和相等； 圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．·IABACA【典型例题】一、填空和选择（1）一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形一定是( ) A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形（2）如右图，I是的内心，则下列式子正确的是（ ）A、∠BIC=-2∠A B、∠BIC=2∠A C、∠BIC=+∠A/2 D、∠BIC=-∠A/2（3）外切于⊙O，E、F、G分别是⊙O与各边的切点，则的外心是的 。
4）直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么它的外接圆的半径为 ，内切圆半径为 ．（5）等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为，则= ．（6）圆外切等腰梯形底角为，腰长为10，则圆的半径长为 ．（7）等边三角形一边长为2，则其内切圆半径等于 ．（8）等边三角形的内切圆半径，外接圆半径的和高的比是 ．（9）的内切圆⊙I与AB、BC、CA分别切于D、E、F点，且∠FID=∠EID=，则为 ．例2．如图，△ABC中，I是内心，AI交BC于D，交△ABC的外接圆于E 求证：（1）IE=EC，（2）IE2=ED·EAABCEDI例3．如图，已知内接于⊙，AE切⊙于点A，BC∥AE，求证：是等腰三角形·ABCOEP例4．已知三边长为6，8，10，则它的内心，外心间的距离为 【经典练习】一、选择题 1.下列命题中，正确的有（ ） ① 圆内接平行四边形是矩形 ② 圆内接菱形是正方形 ③ 圆内接梯形是等腰梯形 ④ 圆内接矩形是正方形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=3：5：6，那么∠D=（ ） A．80° B．90° C．100° D．120° 3.如果一个直角三角形的一条直角边等于它的外接圆的半径r，那么此三角形的面积与其外接圆的面积之比为（ ） A． B． C． D． 4.如图1，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=110°，则∠BCD=（ ） A．125° B．110° C．55° D．70°ABCDO图1ABDCO图2ADPBC图35.如图2，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=60°，则∠ABC=（ ）︵ A．30° B．60° C．120° D．90°6.如图3，正方形ABCD内接于⊙O，点P在AD上，则∠BPC为（ ） A．35° B．40° C．45° D．50°7.如图4， 中，过点Q、M的圆与PQ、MN分别相交于点E、F，下列结论中正确的有（ ）①∠EFN=∠Q=∠N；②∠EFN+∠P=180°；③EF=PN=MQ；④∠M=∠FEP。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8.如图5，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD为⊙O的直径，若∠CBE=50°，则圆心角∠AOC =（ ） A．50° B．80° C．100° D．130°OFNPEQM图4AODCBE图5二、填空题9．设I是△ABC的内心，O是△ABC的外心，∠A=80°，则∠BIC= ，∠BOC= 10．若三角形的三边长为5、12、13，则其外接圆的直径长等于 ，其内切圆的直径长为 11．直角三角形的一边为a，它的对角是30°，则此三角形的外接圆的半径是 12．如图6，⊙I切△ABC于D、E、F，∠C=60°，∠EIF=100°，则∠B= DABCI EF图6AFCEBDO图7ADBCO图813．如图7，⊙O内切于Rt△ABC，∠C=90°，D、E、F为切点若∠AOC=120°，则∠OAC= ，∠B= ；若AB=2cm，则AC= ,△ABC的外接圆半径= ，内切圆半径= 。
14．如图8，若弦AD∥BC，∠BAC=70°，∠ABC=80°，则∠ADC= 度，∠ACD= 度15．如图9，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AE⊥CD，若∠ABC=13。