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1、双曲线知识点 指导教师：郑军一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（|F1F2|）的点的轨迹（为常数）这两个定点叫双曲线的焦点 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a|F1F2|. 当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支； 当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支； 当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a|F1F2|时，动点轨迹不存在. 2. 第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦
2、点，定直线l叫做双曲线的准线二、 双曲线的标准方程： （a0，b0）(焦点在x轴上)； （a0，b0）(焦点在y轴上)；1. 如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上. a不一定大于b.2. 与双曲线共焦点的双曲线系方程是3. 双曲线方程也可设为：例题：已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且过点，求双曲线的轨迹方程。三、 点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系：1 点与双曲线：点在双曲线的内部点在双曲线的外部点在双曲线上2 直线与双曲线： （代数法）设直线，双曲线联立解得1) 时，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，或k不存在时直线与双曲线没有交点；
3、2) 时，存在时，若，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若， 时，直线与双曲线相交于两点；时，直线与双曲线相离，没有交点；时，直线与双曲线有一个交点；若不存在，时，直线与双曲线没有交点； 直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线过定点，双曲线1).当点在双曲线内部时：，直线与双曲线两支各有一个交点；，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；或或不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点在双曲线上时： 或，直线与双曲线只交于点；直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；（）或 （）或或不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点；当时，或不
4、存在，直线与双曲线只交于点；或时直线与双曲线的一支有两个交点；直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；3).当点在双曲线外部时：当时，直线与双曲线两支各有一个交点；或或不存在，直线与双曲线没有交点；当点时， 时，过点的直线与双曲线相切 时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点的直线和双曲线，仅有一个公共点，求直线的方程。四、 双曲线与渐近线的关系：1. 若双曲线方程为渐近线方程：2. 若双曲线方程为（a0，b0）渐近线方程：3. 若渐近线方程为双曲线可设为, .4. 若双曲线与有公共渐近线则双曲线的方程可设为（，焦点在x轴上，焦点在y轴上）五、 双曲线与切线方程
5、：1. 双曲线上一点处的切线方程是.2. 过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.3. 双曲线与直线相切的条件是.六、 双曲线的性质： 双曲线标准方程（焦点在轴）标准方程（焦点在轴）定义第一定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值是常数（小于）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。PP第二定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离的比是常数，当时，动点的轨迹是双曲线。定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数（）叫做双曲线的离心率。PPPP范围，对称轴轴 ，轴；实轴长为,虚轴长为对称中心原点焦点坐标 焦点在实轴上，；焦距：顶点坐标（,0） (,0)(0,
6、 ,) (0，)离心率1)， ， e越大则双曲线开口的开阔度越大准线方程准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：顶点到准线的距离顶点（）到准线（）的距离为顶点（）到准线（）的距离为焦点到准线的距离焦点（）到准线（）的距离为焦点（）到准线（）的距离为渐近线方程 () ()共渐近线的双曲线系方程（）（）直线和双曲线的位置双曲线与直线的位置关系：利用转化为一元二次方程用判别式确定。二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦AB的弦长通径：过双曲线上一点的切线 或利用导数 或利用导数七、 弦长公式： 若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，若分别为A、B的纵坐标，则。
7、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长。若弦AB所在直线方程设为，则。特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解，例：直线与双曲线相交于两点，则=_八、焦半径公式：双曲线（a0，b0）上有一动点当在左支上时,当在右支上时,注：焦半径公式是关于的一次函数，具有单调性，当在左支端点时，当在左支端点时，九、等轴双曲线：（a0，b0）当时称双曲线为等轴双曲线；则：1. ；2.离心率；3.两渐近线互相垂直，分别为y=；4.等轴双曲线的方程，；5. 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。 十、共轭双曲线： 1.定义：
8、以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线 2.方程： 3.性质：共轭双曲线有共同的渐近线； 共轭双曲线的四个焦点共圆它们的离心率的倒数的平方和等于1。 （a0;b0）的焦点为与，且p为曲线上任意一点，。则的面积焦点三角形面积公式：双曲线1. 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内角.2. PT平分PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）5.
9、若在双曲线（a0,b0）上，则过的双曲线的切线方程是.6. 若在双曲线（a0,b0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.7. 双曲线（a0,bo）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一8. 点，则双曲线的焦点角形的面积为.9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MFNF.10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF.11. AB是双曲线
10、（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。12. 若在双曲线（a0,b0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.13. 目 录14. 双曲线知识点215. 1 双曲线定义：216. 2.双曲线的标准方程：217. 3.双曲线的标准方程判别方法是：218. 4.求双曲线的标准方程219. 5.曲线的简单几何性质220. 6曲线的内外部321. 7曲线的方程与渐近线方程的关系322. 8双曲线的切线方程323. 9线与椭圆相交的弦长公式324. 高考题型解析425. 题型一：双曲线定义问题426. 题型二：双曲线的渐近线问题427. 题型三：双曲线的离心率问题428. 题型四：双曲线的距离问题529. 题型五：轨迹问题530. 高考例题解析631. 练习题1032.
