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1、板块命题点专练(十二) 圆锥曲线命题点一椭圆1.(2018浙江高考)已知点P(0,1)，椭圆y2m(m1)上两点A，B满足2，则当m_时，点B横坐标的绝对值最大解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2，得即x12x2，y132y2.因为点A，B在椭圆上，所以解得y2m，所以xm(32y2)2m2m(m5)244，所以当m5时，点B横坐标的绝对值最大答案：52(2016江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_解析：将y代入椭圆的标准方程，得1，所以xa，故B，C.又因为F(c,0)，所以，.因为
2、BFC90，所以0，所以20，即c2a2b20，将b2a2c2代入并化简，得a2c2，所以e2，所以e(负值舍去)答案：3(2017江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标解：(1)设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，8，解得a2，c1，于是b，因此椭圆E的标准方程是1.(2)由(1)知，F1(1,0)，
3、F2(1,0)设P(x0，y0)，因为P为第一象限的点，故x00，y00.当x01时，l2与l1相交于F1，与题设不符当x01时，直线PF1的斜率为，直线PF2的斜率为.因为l1PF1，l2PF2，所以直线l1的斜率为，直线l2的斜率为，从而直线l1的方程为y(x1)，直线l2的方程为y(x1)由，解得xx0，y，所以Q.因为点Q在椭圆上，由对称性，得y0，即xy1或xy1.又点P在椭圆E上，故1.联立解得联立无解因此点P的坐标为.4(2018北京高考)已知椭圆M：1(ab0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k1，求|AB|的
4、最大值；(3)设P(2,0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D，若C，D和点Q共线，求k.解：(1)由题意得解得a，b1.所以椭圆M的方程为y21.(2)设直线l的方程为yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得4x26mx3m230，所以x1x2，x1x2.所以|AB| .当m0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为.(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得x3y3，x3y3.直线PA的方程为y(x2)由得(x12)23yx212yx12y3(x12)20.设C(xC，yC)，所以xCx1.所以xCx1.所以yC(xC2).设D(xD，y
5、D)，同理得xD，yD.记直线CQ，DQ的斜率分别为kCQ，kDQ，则kCQkDQ4(y1y2x1x2)因为C，D，Q三点共线，所以kCQkDQ0.故y1y2x1x2.所以直线l的斜率k1.5(2017天津高考)已知椭圆1(ab0)的左焦点为F(c,0)，右顶点为A，点E的坐标为(0，c), EFA的面积为.(1)求椭圆的离心率；(2)设点Q在线段AE上，|FQ|c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PMQN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c.求直线FP的斜率；求椭圆的方程解：(1)设椭圆的离心率为e.由已知，可得(ca)c.又由b2a2c2，可得2c2
6、aca20，即2e2e10.又因为0e1，解得e.所以椭圆的离心率为.(2)依题意，设直线FP的方程为xmyc(m0)，则直线FP的斜率为.由(1)知a2c，可得直线AE的方程为1，即x2y2c0，与直线FP的方程联立，可解得x，y，即点Q的坐标为.由已知|FQ|c，有222，整理得3m24m0，所以m，即直线FP的斜率为.由a2c，可得bc，故椭圆方程可以表示为1.由得直线FP的方程为3x4y3c0，联立消去y，整理得7x26cx13c20，解得xc或x(舍去)因此可得点P，进而可得|FP| ，所以|PQ|FP|FQ|c.由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和
7、QN都垂直于直线FP.因为QNFP，所以|QN|FQ|tanQFN，所以FQN的面积为|FQ|QN|，同理，FPM的面积等于，由四边形PQNM的面积为3c，得3c，整理得c22c.又由c0，得c2.所以椭圆的方程为1.命题点二双曲线1.(2018江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1(a0，b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为_解析：双曲线的渐近线方程为bxay0，焦点F(c,0)到渐近线的距离db，bc，ac，e2.答案：22(2016江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线1的焦距是_解析：由双曲线的标准方程，知a27，b23，所以c2a2b210，
8、所以c，从而焦距2c2.答案：23(2017江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线y21的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是_解析：由题意得，双曲线的右准线x与两条渐近线yx的交点坐标为.不妨设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，则F1(2,0)，F2(2,0)，故四边形F1PF2Q的面积是|F1F2|PQ|42.答案：24(2018北京高考)若双曲线1(a0)的离心率为，则a_.解析：由e ，得，a216.a0，a4.答案：45(2018全国卷改编)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近
9、线的垂线，垂足为P.若|PF1|OP|，则C的离心率为_解析：法一：不妨设一条渐近线的方程为yx，则F2到yx的距离db.在RtF2PO中，|F2O|c，所以|PO|a，所以|PF1|a，又|F1O|c，所以在F1PO与RtF2PO中，根据余弦定理得cosPOF1cosPOF2，即3a2c2(a)20，得3a2c2，所以e.法二：如图，过点F1向OP的反向延长线作垂线，垂足为P，连接PF2，由题意可知，四边形PF1PF2为平行四边形，且 PPF2是直角三角形因为|F2P|b，|F2O|c，所以|OP|a.又|PF1|a|F2P|，|PP|2a，所以|F2P|ab，所以ca，所以e.答案：6(2
10、015江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点，若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_解析：所求的c的最大值就是双曲线的一条渐近线xy0与直线xy10的距离，此距离d.答案：命题点三抛物线1.(2017全国卷改编)过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MNl，则M到直线NF的距离为_解析：法一：由题意，得F(1,0)，则直线FM的方程是y(x1)由得x或x3.由M在x轴的上方，得M(3,2)，由MNl，得|MN|MF|314.又NMF等于直线FM的倾斜角，即NMF60，因此MNF
11、是边长为4的等边三角形，所以点M到直线NF的距离为42.法二：依题意，得直线FM的倾斜角为60，则|MN|MF|4.又NMF等于直线FM的倾斜角，即NMF60，因此MNF是边长为4的等边三角形，所以点M到直线NF的距离为42.答案：22(2018北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y24ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_解析：由题知直线l的方程为x1，则直线与抛物线的交点为(1，2)(a0)又直线被抛物线截得的线段长为4，所以44，即a1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)答案：(1,0)3(2017天津高考)设抛物线y24x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上
12、，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若FAC120，则圆的方程为_解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(1，a)(a0)，则A(0，a)又F(1,0)，所以(1,0)，(1，a)，由题意得与的夹角为120，故cos 120，解得a，所以圆的方程为(x1)2(y)21.答案：(x1)2(y)21命题点四圆锥曲线中的综合问题1(2018江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点，焦点为F1(，0)，F2(，0)，圆O的直径为F1F2.(1)求椭圆C及圆O的方程；(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；直线l与椭圆C交于A
13、，B两点若OAB的面积为，求直线l的方程解：(1)因为椭圆C的焦点为F1(，0)，F2(，0)，可设椭圆C的方程为1(ab0)又点在椭圆C上，所以解得所以椭圆C的方程为y21.因为圆O的直径为F1F2，所以圆O的方程为x2y23.(2)设直线l与圆O相切于点P(x0，y0)(x00，y00)，则xy3，所以直线l的方程为y(xx0)y0，即yx.由消去y，得(4xy)x224x0x364y0.(*)因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以(24x0)24(4xy)(364y)48y(x2)0.因为x00，y00，所以x0，y01.所以点P的坐标为(，1)因为OAB的面积为，所以ABOP，从而AB.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(*)得x1,2，所以AB2(x1x2)2
