函数奇偶性与单调性综合应用--专题（共11页）-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--函数奇偶性与单调性的综合应用专题【寄语：亲爱的孩子，将来的你一定会感谢现在拼命努力的自己！］教学目标：1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；^2能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质；3能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性.教学重难点：函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质.【复习旧识】1 .函数单调性的概念是什么如何证明一个函数的单调性2 .函数奇偶性的概念是什么如何证明一个函数的奇偶性3 .奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点偶函数呢【新课讲解】一、常考题型1 .根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的大小；2 .当题目中出现 “ f（Xl） f（x2）＞0 （或＜0） ” 或 " xf（x）＞0 （或＜0） ” x1 x2时，往往还是考察单调性；3 .证明或判断某一函数的单调性；4 .证明或判断某一函数的奇偶性；5 .根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“f（x）＞0 （或＜0） ”时x的取值范围）；6.确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值范围^、常用解题方法1 .画简图(草图)，利用数形结合；2 .运用奇偶性进行自变量正负之间的转化；3 .证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论三、误区1 .函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关；2 .判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称；3 .奇函数若在“x 0”处有定义，必有“ f(0) 0” ；4 .函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异；5 .运用单调性解不等式时，应注意自变量取值范围受函数自身定义域的限制 四、函数单调性证明的步骤：(1)根据题意在区间上设 (2) 比较大小;(3)下结论 .函数奇偶性证明的步骤：(1)考察函数的定义域;(2)计算 _的解析式，并考察其与 —的解析式的关系；(3)下结论.【典型例题】例1设f (x)是定义在(―8, + OO)上的偶函数，且它在［0, + OO)上单调递增，若a =f(log 2),3c = f ( 2),则a, b , c的大小关系是( )A. a>b>cC. c> a>bB. b>c> aD. c> b> a【考点】函数单调性；函数奇偶性，对数函数的性质【解析】 因为l0g ：2 '；3 a>b.【答案】C=1,若 m, nC[ — 1, 1], m+nw0(1)判断f (x)在［-1 , 1］上的单调性，并证明你的结论;(3)f (x) <2：- 2at+1 对所有 xC [- 1, 1], aC [ - 1, 1]恒成立，求实数 t的取值范围.【考点】 函数的奇偶性；函数单调性的判断与证明；函数的最值与恒成立问题.【解析】解：(1)任取-Uvx2&L则£ (町)+f (--f ( Xi )— f(x2)=f( Xi )+f ( —x2)=~~Z7* ( ¥ ］1翼2K1 - S2-Xi - X2< 0 ,・ •・f(X1)— f(X2)V 0,即 f (x)在[—1 , 1]上为增函数;(2) .f (x)在［-1, 1］上为增函数,故有「14总<1由此解得kl-3工< 7}(3)由(1)可知：f (x)在［-1, 1］上是增函数，且 f (1) =1,故对 xC［-1, 1］,恒有 f (x) <1所以要使f (x)/-2at+1 ,对所有xC［-1, 1］, aC［-1, 1］恒成立,即要t2-2at+1 >1成立，故t2-2at40成立.即 g (a) =t2 — 2at 对 a C ［ — 1, 1］, g ( a) >0恒成立，只需g (a)在［-1, 1］上的最小值大于等于零.故 g (- 1) >Q 且 g (1) >Q解得：t<- 2或t=0或t>2【点评】本题主要考查单调性和奇偶性的综合应用及函数最值、恒成立问题的转化化归思想.例区已知/⑴是定义在［T1］的奇国物,日在定义域内是增函数，若--1)+1期求实数a的取值范围1解：由了匕+<0得：S/W是定义在［T1］的奇函数,所以有-八弘-1)=-如)乂从而Jd 51-知#二1二二一1M1 所以，一 1 — %- ： Ml 仪-1 c 1 一彳厘解得：CSa S—+、选择题【课堂练习】1 .函数y= 2一|x|的单调递增区间是( )A. (—8, + oo)B. (—8, 0]C. [0, + 8)D. (0, + 8)2 .已知f(x)是定义在R上的偶函数，它在[0, + 8)上是减函数，如果f(lgx )>f(1),那么x的取值范围是( )A. 010， D1B.(0，gu(1, +8)1c (而，10)D. (0,1) U (10, + 8)3 .下列函数中既是奇函数，又在定义域上是增函数的是 ( )A. y= 3x+ 1. 1B. f(x)=一 x八 , 1C. y= 1 -— xD. f(x)=x34 .如图是偶函数y = f(x)的局部图像，根据图像所给信息，下列结论正确的是A. f(- 1)-f(2)>0B. f(-1)-f(2) = 0C. f(- 1)-f(2)<0D, f(—1) + f(2)<05 .定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数 g(x)在区间[0, +8)上的图像与 f(x)的图像重合，设a>b>0,给出下列不等式：①f(b) — f( — a)>g(a) — g(- b);② f(b) — f( — a)g(b) — g(-a)；④ f(a) — f( — b)(3)>f( —2)C f(一n)<(3)f(3)D. f(— l )<(—2)0,则XiX2一定正确的是()A. f(3)>f(—5)B, f(—5)>f(—3)C. f(- 5)>f(3)D, f(-3)>f(-5)8.定义在R上的偶函数f(X)在［0, + 8)上是增函数，若f(a)bC. |a|<| b|D, 0Qb>09.若偶函数f(X)在(一8, 0)内单调递减，则不等式 f(—1)0 的解集；(2)已知偶函数f(x)(xC R),当x^O时，f(x)=x(5-x)+1,求f(x)在R上的解析式．16 .(本小题满分12分)设函数y = f(x)的定义域为R,并且满足f(x + y)=f(x) +1. 一f(y), f( -) =1，当 x>0 时，f(x)>0. 3⑴求f(0)的值;⑵判断函数的奇偶性;⑶如果f(x) + f(2+x)<2,求x的取值范围.BCDCADCD5.答案①③解析 一f(— a) = f(a), g(— =g(b),. a>b>0, •. f(a)>f(b), g(a)>g(b).• ・ f(b) — f( — a) = f(b) + f(a) = g(b) + g (a)>g(a) —g(b) = g(a) —g( —b), ••①成立.又「 g(b) —g(—a)=g(b)—g(a), • .③成立.10.答案一1511.答案(一冗，冗)解析 若a}Q f(x)在［0, +00)上是减函数，且f(九)f(a),得a—兀，即一冗a<0.由上述两种情况知aC (—阳冗).12 .解析⑴略(2)f(x)的单调区间为［ — 3, - 1］, ［-1,0］, ［0,1］ , ［1,3］.(3)f(x)的值域为［—2,2］.13 .解析•「f(x)为偶函数，f(1—m)| m| ,两边平方，得 m<2,又f(x)止义域为［ — 2,2］,1解Nd导—1ssm02,综上得 m € [- 1 , 2).14.解 •「f(x) = ax2+bx+3a+b是定义在区间［a—1,2a］上的偶函数,a—1 +2a=0, b = 0,1 a=3,b=0.一、12/• . f(x) = ;x2 + 1.31c ,2 2 31；他户乎旺1在—3, 3上,的值域为1, 27 .15.解 (1)：y = f(x)在 R上为奇函数，「. f(0)=0.又 f(4x —5)>0,即 f(4x-5)>f(0),一 ,，、，一5又 f(x)为增函数，，4x-5>0, • - x>4.5 即不等式f(4x —5)>0的解集为x| x>4 .(2)当 x<0 时，一x>0,- f(- x) = —x(5 +。