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1、习题9-1 1. 设有一平面薄板(不计其厚度), 占有xOy面上的闭区域D, 薄板上分布有密度为m =m(x, y)的电荷, 且m(x, y)在D上连续, 试用二重积分表达该板上全部电荷Q. 解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度m(x, y)在该板所占闭区域D上的二重积分. 2. 设, 其中D1=(x, y)|-1x1, -2y2; 又, 其中D2=(x, y)|0x1, 0y2. 试利用二重积分的几何意义说明I1与I2的关系. 解 I1表示由曲面z=(x2+y2)3与平面x=1, y=2以及z=0围成的立体V的体积. I2表示由曲面z=(x2+y2)3与平面x=0, x=1, y=0, y=
2、2以及z=0围成的立体V1的体积. 显然立体V关于yOz面、xOz面对称, 因此V 1是V位于第一卦限中的部分, 故V=4V1, 即I1=4I2. 3. 利用二重积分的定义证明: (1) (其中s为D的面积); 证明 由二重积分的定义可知, 其中Dsi表示第i个小闭区域的面积. 此处f(x, y)=1, 因而f(x, h)=1, 所以, . (2) (其中k为常数); 证明 . (3), 其中D=D1D2, D1、D2为两个无公共内点的闭区域. 证明 将D1和D2分别任意分为n1和n2个小闭区域和, n1+n2=n, 作和 . 令各和的直径中最大值分别为l1和l2, 又l=max(l1l2),
3、 则有 , 即 . 4. 根据二重积分的性质, 比较下列积分大小: (1)与, 其中积分区域D是由x轴, y轴与直线x+y=1所围成; 解 区域D为: D=(x, y)|0x, 0y, x+y1, 因此当(x, y)D时, 有(x+y)3(x+y)2, 从而. (2)与, 其中积分区域D是由圆周(x-2)2+(y-1)2=2所围成; 解 区域D如图所示, 由于D位于直线x+y=1的上方, 所以当(x, y)D时, x+y1, 从而(x+y)3(x+y)2, 因而. (3)与, 其中D是三角形闭区域, 三角顶点分别为(1, 0), (1, 1), (2, 0); 解 区域D如图所示, 显然当(x
4、, y)D时, 1x+y2, 从而0ln(x+y)1, 故有 ln(x+y)2 ln(x+y), 因而 . (4)与, 其中D=(x, y)|3x5. 0y1. 解 区域D如图所示, 显然D位于直线x+y=e的上方, 故当(x, y)D时, x+ye, 从而 ln(x+y)1, 因而 ln(x+y)2ln(x+y),故 . 5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值: (1), 其中D=(x, y)| 0x1, 0y1; 解 因为在区域D上0x1, 0y1, 所以 0xy1, 0x+y2, 进一步可得 0xy(x+y)2, 于是 , 即 . (2), 其中D=(x, y)| 0xp, 0yp;
5、解 因为0sin2x1, 0sin2y1, 所以0sin2xsin2y1. 于是 , 即 . (3), 其中D=(x, y)| 0x1, 0y2; 解 因为在区域D上, 0x1, 0y2, 所以1x+y+14, 于是 , 即 . (4), 其中D=(x, y)| x2+y2 4. 解 在D上, 因为0x2+y24, 所以 9x2+4y2+94(x2+y2)+925. 于是 , ,即 . 习题9-2 1. 计算下列二重积分: (1), 其中D=(x, y)| |x|1, |y|1; 解 积分区域可表示为D: -1x1, -1y1. 于是 . (2), 其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭
6、区域: 解 积分区域可表示为D: 0x2, 0y2-x. 于是 . (3), 其中D=(x, y)| 0x1, 0y1; 解 . (4), 其中D是顶点分别为(0, 0), (p, 0), 和(p, p)的三角形闭区域. 解 积分区域可表示为D: 0xp, 0yx. 于是, . . 2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分: (1), 其中D是由两条抛物线, 所围成的闭区域; 解 积分区域图如, 并且D=(x, y)| 0x1, . 于是 . (2), 其中D是由圆周x2+y2=4及y轴所围成的右半闭区域; 解 积分区域图如, 并且D=(x, y)| -2y2, . 于是 . (3), 其中D
7、=(x, y)| |x|+|y|1; 解 积分区域图如, 并且 D=(x, y)| -1x0, -x-1yx+1(x, y)| 0x1, x-1y-x+1. 于是 =e-e-1. (4), 其中D是由直线y=2, y=x及y=2x轴所围成的闭区域. 解 积分区域图如, 并且D=(x, y)| 0y2, . 于是 . 3. 如果二重积分的被积函数f(x, y)是两个函数f1(x)及f2(y)的乘积, 即f(x, y)= f1(x)f2(y), 积分区域D=(x, y)| axb, c yd, 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积, 即 证明 , 而 , 故 . 由于的值是一常数, 因而可提到积分
8、号的外面, 于是得 4. 化二重积分为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分), 其中积分区域D是: (1)由直线y=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域; 解 积分区域如图所示, 并且D=(x, y)|, 或D=(x, y)| ,所以 或. (2)由x轴及半圆周x2+y2=r2(y0)所围成的闭区域; 解 积分区域如图所示, 并且 D=(x, y)|, 或D=(x, y)| ,所以 , 或. (3)由直线y=x, x=2及双曲线(x0)所围成的闭区域; 解 积分区域如图所示, 并且 D=(x, y)|, 或D=(x, y)| (x, y)|,所以 , 或. (4)环形闭区域(x
9、, y)| 1x2+y24. 解 如图所示, 用直线x=-1和x=1可将积分区域D分成四部分, 分别记做D1, D2, D3, D4. 于是 用直线y=1, 和y=-1可将积分区域D分成四部分, 分别记做D1, D2, D3, D 4, 如图所示. 于是 5. 设f(x, y)在D上连续, 其中D是由直线y=x、y=a及x=b(ba)围成的闭区域, 证明:. 证明 积分区域如图所示, 并且积分区域可表示为 D=(x, y)|axb, ayx, 或D=(x, y)|ayb, yxb. 于是 , 或. 因此 . 6. 改换下列二次积分的积分次序: (1); 解 由根据积分限可得积分区域D=(x,
10、y)|0y1, 0xy, 如图. 因为积分区域还可以表示为D=(x, y)|0x1, xy1, 所以 . (2); 解 由根据积分限可得积分区域D=(x, y)|0y2, y2x2y, 如图. 因为积分区域还可以表示为D=(x, y)|0x4, , 所以 . (3); 解 由根据积分限可得积分区域, 如图. 因为积分区域还可以表示为, 所以 (4); 解 由根据积分限可得积分区域, 如图. 因为积分区域还可以表示为, 所以 . (5); 解 由根据积分限可得积分区域D=(x, y)|1xe, 0yln x, 如图. 因为积分区域还可以表示为D=(x, y)|0y1, eyx e, 所以 (6)
11、(其中a0) 解 由根据积分限可得积分区域, 如图. 因为积分区域还可以表示为 , 所以 . 7. 设平面薄片所占的闭区域D由直线x+y=2, y=x和x轴所围成, 它的面密度为m(x, y)=x2+y2, 求该薄片的质量. 解 如图, 该薄片的质量为 . 8. 计算由四个平面x=0, y=0, x=1, y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体的体积. 解 四个平面所围成的立体如图, 所求体积为 . 9. 求由平面x=0, y=0, x+y=1所围成的柱体被平面z=0及抛物面x2+y2=6-z截得的立体的体积. 解 立体在xOy面上的投影区域为D=(x, y)|0x1, 0y1-x, 所求立体的体积为以曲面z=6-x2-y2为顶, 以区域D为底的曲顶柱体的体积, 即 . 10. 求由曲面z=x2+2y2及z=6-2x2-y2所围成的立体的体积. 解 由消去z, 得x2+2y2=6-2x2-y2, 即x2+y2=2, 故立体在xOy面上的投影区域为x2+y22, 因为积分区域关于x及y轴均对称, 并且被积函数关于x, y都是偶
