高中数学：2 3 个求极值和值域的经典例题高中数学：23个求极值和值域的经典例题2 3 个 求 极 值 和 值 域 专 题1、求 函 数/(x)=x +-3 x+2的值域.2、求 函 数，(x)=J x +27+J 7 3-X +J x 的值域.3、求 函 数/(x)=V x-5 +、2)=+_+的最小值.xyz7、已知：2 x2+3 x y +2 y2=1,求：x +j，+AJ 的最:小值.8、设 函 数/(x)=-g x 2+在 区 间M向 的 最 小 值 为2 ,最 大 值 为2 6.求区间9、已知：x2+j2=2 5.求函数 f(x,y)=N 8 y-6:x +5 0+8y +6 x +50 的最大值.10、求函数：/()=+2 x +V x:+1 6 x+68 的最小值.1 1.求函数：/(x)=J 的值域.x2 4K+42 212、已知实数X2X3满 足X j +-=1和X；+H 六=3,求Xj的最小值.13、求 函 数：/(“,j，)=(Z-3)2+(2 x +p 匕)？的最小值.14、已知：/x4-7+yf y-2=5.求 函 数：/(，的最大值.4 916、求 函 数：f(x)=/+sin x +!1-sin x+2+in x +:2 -sin A T+J3 +sin x +-sin x的最大值.19、设：X j(7=1,2,3,2。
3)为 正 实 数，且满足、G 7+J石 十 十J2003=20 0 3.试 求：y =yj x,4-x2+X3+yjx20 0 2 x20 0 3+x20 0 3 xJ 的 最 小 值-20、已 知x,)，,z为 正 实 数.H满 足 一 方+上=+J=2,Z+x2/+j，7+N求：丁+一+的 最 大 值./+2 z+j.2 z+J21、设a 为 锐 角.求：/(ar)=(7 4-)(7+-)的最小值.sin a cos a22、设 a 为 锐 角.求 证：2 a v sin a +tu n a.23、已 知x,.y,z为 正 实 数，求 证：x y +2 y z x +y+z 21高中数学：23个求极值和值域的经典例题2 3 个求极值和值域专题解析1、求函数/(x)=x+V x?-3x+2的值域.解析：函数/(x)=x+/x 2 3x+2=x+J(x-7 X x 2)的 定 义 域 为:(Q O,/J|J(2,-H3O).3x-函数的导函数为：/g=1+/23彳X 一不(D当x e(-,功 时.x 一 则1-2-/(/)=/；f(x)-HJO故：函数在该区间的值域是7,g).33*-当*e 2,+o)时，x-0,则/(x)=7+j 2 。
22二 一即：函 数/(X)在“2,+8)区间为单调递增函数，故：/(x)/(2)=2；f (x)-H X X-HX故；函数在该区间的值域是2,+8).2高中数学：23个求极值和值域的经典例题球 上.函 数 的 值 域 是 口 与 U 2,+).本 题 采 用 导 数 的 正 负 未 碉 定 函 数 的 增 减.此 法 称 为“华调性法”一2、求函数/()=7 x +2 7 +J l 3 J V+JX 的值域.解 析：函 数/(内)的 定 义 城 是：AT e|,J 3 J.待 定 系 数 法 用 于 柯 西 不 筹 在 来 解 本 题.设：A,R、C O ,则 柯 西 不 等 式 为：(C?fx-i-27厂+(Y 1 3 +H-7+2ARC即：f2(x y CA-B +C)X-(2 7 A +/c令；A-R +C =0 .即：=4+C 由枸西不等式的等 号成立条件.即 函 数 取 极 值 时 条 件 得：A j x +2 7 =C x/jr B /1 3 x =C x 2 7 d 4 27 4”将 代 入 得：(/+C)2(/3 一7 .)=C2-,?C2 A2 C2-A2即：(A+C y2(1 3C2-13 A2-2 7 A2)=27 A2C2即：(A+C y2(1 3C2-4 O A2y=2 7 A2C2,即：(N+。
/(与 一 名)=27 A2 C2试解,由于27=3 x 3 x 3,则式刚好也是3 项相乘，不妨试解采用各项都是3.则：A+C =3,且 与 一 名=3.贝 h .4=1 .C =2.B=3A2 C2代入得：.二，7 1 _=9 即“=g 时函数取得极大值.C2-A2 22-1函数极大值为/(x =9)=9+27+,13-9 +亚=6+2+3=1 1 当 x e 0,9 时，函数/(*)在本区间为单调递增函数.故：/(x)N f(fi)=4 2 7 +V7J+Q =3+J 7 7即：函数/(4 13)=y/is -t-27+J1 3-1 3 4-V77=4 4 0 +J 1 3=2 4 1 0 +、/77即：函数/(x)在 x e 9./3 区间的值域是 2 1 而 +J 万，3高中数学：23个求极值和值域的经典例题综上.函数/(幻的值域是3，J+本题采用“待定系数法”、“相西不等式”和“单调性法”.3,求函数/(x)=J x-5+J 2 4-3 X 的值域.解析：函数/(x)的定义域是：.V 5,J.待定系数法用于柯西不等式来第本题.设：A,B 0 .则 柯 西 不 等 式 为：(、5 J x-5 9 +(、如 J24-3x)2也 +2.J n f2 J)A B即：/2(x)1(.4-3 S)x +(-5T4+24B)+A B令：A-3 B =0,即：A=3B 由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：A、&-5=B C 2 4-3 x即：4，/2(,x-5_)=_ 、1 1 n x 5 3B x 5+8 x 3B*+A*B”(2 4-3 x),即：-=-.即：-=-；8-x A2 8-x A2mi3 3B2+A2 m D 3A2 m o 3A2即：-=-；.即：8-x =；-,即：x =8-S-x A2 3B2+A2 3B+1将式代入式得：x =8-：-=8 =8 =3B?+9JJZ 1 2 4 4当*=，时.函数f(x)达到极大值.极大值为：八 争=4+、曰=生 产 产-巨+、匹旦=正+且=2 石、4 7 4 2 2n 钮2.0 a H s/，/、1 3 xj24-3 x 3yJx 5函数的导函数为：f(x)=.-/=,/2yJx-5 21 24-3 x -5、/24-3 x当x e 5,d 区同时.f x)0.函 数/(x)单 调 递 减.故：/(x)N f(8)=co V(x -1)*f -8 ,lim /(JV)=lim(.Kf /-+-Z7)、=(x-Z)2故：函 数/(x)在 该 区 间 的 值 域 是(y ,在x e(/,T 8)区 间.函 数/(*)=/上 土 0=7+卫 工 为 单 调 递 减 函 数.Y(X-/)2 7(A T-/)2I X2+J故 有:f(x)z x-i y(j r-7 r/(x)N lim /(x)=lim (j 丫)=lim (1T-2 x)=JX-H X-H (x _1)X -hao y(x _ 7)5高中数学：23个求极值和值域的经典例题故：函数/(X)在该区间的值域是(,+).缥上，函数/(X)的值域是(7 0,1 1(7,+6).本题方法属“单调性法”2 v*+bx+c5、已知函数/(x)=十以十口(其中 0即：(1)2-2 c +2+c)y-y2 0 而函数/(x)的值域是U，3 J,即：(j，一/X 3-$)N 0,即：_3+4 y _/2 对比 两式得：c=2.(g)2 2c=-3,即(g)2=I,因6，故：b=-2故：实数b=-2.c=2.此法称为“判别式法”./+J+z?6、巳知：x,y,g为正实数，且x+y+z N x y z.求函数/(x,P,Z)=-:-的最小值.xyz解析：首先设x=y=z=“，代入x+F+1七得：3a=a3,即：=J 7.则：当书乞=3仃时,由均值不等式2”24.即：x 2+J；+2 /+;+;：)得:/+/+八则：=针=半=0 x1,z 3xyz 3当；9工 3,3，Z)2则：、X+F +：、3也xyw)2 3/(x,)=-=-=-T 7xyz xyz 中(xyG(3)当中，？3小时,由均值不等式。
2 4”.即：/+/+八(=+广)6高中数学：23个求极值和值域的经典例题代入已知条件x+y+z Z R，；：.得：*2+12+z2 A(*+切-N(寸:广+V*4-一./故：由(1)、得./(X,F,Z)=-的量小值是xyz本 题 先 确 定 可 旧=均 值.然 后 在AJN均值和甲z V 均 值 下 求 极 值.此 法 称 为“分别讨论法”.7、已知：2”？+3 g，+2j，=Z,求：/(x,.p)=x+p+f 的最小值.解析：由已知条件2“2+3个，+2j=7得：xv=2(x+y)2 J代入/(x,j)=x +j，+AJ 得：/(X,y)=Z =x+j +号=x+j，+2(x+y)2-1即：2(x+.*):+(+)一(1+2)=0令：f =x +y9则方程变为：2一+，一(Z+N)=采用判别式法得；I2+4-2 l+z 0.即；(7+G N-，.即；ZN-2S89故：/3,=十P十 号 的 最 小 值 是 一.此 题 采 用 的 是“判 别 式 法”S8、设 函 数/(x)=g x 2+g 在 区 间 “，句 的 最 小 值 为2最 大 值 为2 6,求 区 间“,6解 析：旨 先./(x)是 一 个 偶 函 数.在(一,0)区间单调递增，在(0,+8)区间单调递减.(1)当时，/(x)为单调递减函数，即：/(a)/(A).故：/(“)是 最 大 值 为2 6./(b)是 最 小 值 为2”.即：/()=02 =2h 2 八-J 2 2 a 4 b 13=0/即：1(*)“与二一夕?+*=2a b2+4 a-1 3 =0(*)两式相减得：u2 b2)4(a b)=0 .即：a+b =4 则：(a+b)2=16,即：(。
2+2)=/6 26(*)两式相加得：(2+2)+4(6)=26将 式 代 入 后 化 简 得：ah=3 由 得：a=l.b=3.则 区 间 外 为 7,3.7高中数学：23个求极值和值域的经典例题(2)当“，、时./X x)的最大值是=即：*=-y .i .若 同 则/(x)的 最 小 值 为：/()a2+-2 a,即：a2+4 a-1 3 =0 ,解之及可得：=-2-x 7 7 ,故 此 时 区 间 句 为 一2 一、万,生 .4i i .老 同v|6|则y(x)的 最 小 值 为：f=一 孑+g =2 a .则：a 0.不 符 合 题 设.即 此 时 无 解.(3)当时，由/(x)是 一 个 偶 函 数 可 得：/()/(*),故 二/(“)是 最 小 侑 为2 o./(6)是 最 大 值 为2人.即：a2+4 a-1 3 =0b2+4 h-l S =0则：明为一元二次 方 程X2+4X-7 3 =0的两个根，由韦达定理得：+=T,则由加,=一/3得：ah=-13a,b异号.不 符 合 题 设.即 此 时 无 解.综上，区 间 可 为”,3 或I-2-J/7,.本 题 采 用“分别讨论法”和“极值法”.49、已知：x2+j2=25.求函数 f(x,j)=8j，-6 x +50 +8 y+6 x +50 的最大值.解析：由+/=2 5可知，函 数 的 定 义 域 是：X G 1-5,5.j e-5,5J有均值不等式4，即：个8 v 6 x +50+,8 y+6x+50/(。
x+5 )*+(、，8 y 4-6 x+5)2 L i ：m,“!(J g y-6 x +50)2+(J 8 r+6 x +50 )2,r-即：/(x,j)-2-=2 8 y +508高中数学：23个求极值和值域的经典例题即：/(x,y)2 8 x 5+56 y!7o当j，=5时.x =0 ,/(?,5)=6x/7o.即 可 以 取 到 不 等 式 的 等 号.故：函 数/(“，)的 最 大 。