四、边际效用均等法则当消费者以-定的货币收入消费多种产品，或者对-种产品采取多种消费方式时，- 定要使最后-元货币所取得的边际效用彼此均等，才能取得总效用的最大化这就叫边 际效用均等法则，或称戈森第：法则，也叫效用最大法则(law of maximizing ulility)o(一)无约束的效用最大化当•个消费者的行为不受任何限制时,他消费•种产品的最大效用，在数学上是自由 极值问题，即无约束的最优化(unconslraincd optimiazalion)o '*1总效用函数为TU = U(X)时，总效用最大化的充分必要条件为辔=0，与芸＜0当消费者消费多种产品时,如总效用函数为TU=U(X.Y),总效用最大化的•阶条件为3TU TXSTU即所消费的各种产品的边际效用等于().-阶条件为3X1<0vo(5. 24)(5. 25)(5. 26)(5. 27)aETU\I 3ifru a2TUaxay（二）有约束的效用最文化实际上，一•个消费者的彳亍为总会受到各种限制，如货币收入的限制.票证定额的限制, 等等.有限制条件的效用最大化，在数学I•.是条件极值问题’即有约束的最优化（con- strained optimization） o如果只有货币收入这一个约束条件，则花在这种消费品上最后一 元货币所取得的边际效用彼此均等，.目,等于一兀货币的边际效用时，总效用达到最大占L代入法如果消费者只购买两种产品X,Y,约束条件为货币收入I,可用代入法求解如卜：(5, 29)(5, 30)II标函数 max TU=/（X,y）约束条件 s.t. PxX-kPyy-i将式将,30）移项，可得丫―—马 XPy将上式代入（5. 29）,可得(5, 31)E = f（x,，/X）为求得TU最大，令式（5. 31）的一阶导数等于0畿愚+"潮=。
l£-it.鸟=° ax 3Y Pv则效用最A化的允分必安条件成立o式(5.32)的经济含义是：花在产品X,Y上最后一元的边际效用相等如果花最后 一元所取得的边际效用，产品X大于产品Y,追求效用最大化的消费者将增加X的消费 量，减少Y的消费量由于边际效用递减法则，新增X消费量的边际效用卜.降，而所减Y 消费量的边际效用上升，X , Y的边际效用最终会趋于相等2.拉格朗日乘数法如果消费者购买两种以上的产品，受到两种以上条件的约束，则需要采用拉格朗日乘 数法(Lagrange multiplier approach)求解设消费者购买X , Y, Z三种产品，货币收入为 I,则max 7V = f(X,Y,Z)s・t. PxX + PQT + PrZ" IL= /(X,Y,Z) -i-AU- (PxX4-Pyy4-PzZ)](5. 34)目标函数(5. 35)约束条件令 为求L最大，其必要条件为务=I 一 (PxX + PvY + 02) =0寒=|｛一逆* = 0cfA a APxX + PyY+PzZ = JAFAPAP - _一 = vax堂ar?/azYZ MwiprMUx MUyWz(5. 36) . . - -ZW--—兰—Px Py Pz至于求L最大的充分条件，比较复杂，这里从略。
为证明入为货币收入的边际效用导F，町分别求式(5. 34)和式(5. 35)的微分d7V=狡dX +弟1V +隽妃=APxdX + APyd¥ + APzdZ=A(PxdX4- PydY + P2dZ)dl= PMX + PydY + PzdZd7U_ X(PxdX+ PydY + PzdZ) _ ,~dT~ PxdX + Pvdy+ PzdZ - (5. 37)上述两式的经济含义是：花在产品X,Y,Z最后一元所取得的边际效用都等于一元 货币的边际效用如果后者大于前者，消费者将减少消费，宁愿多留一些货币；如果后者 小于前者,消费者将增加消费，少留一些货币；最终，两者会趋于相等。