2024年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x+1∈A}（ ）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{3，4} D．{1，2，9}2．（5分）设z＝i，则z•＝（ ）A．﹣i B．1 C．﹣1 D．23．（5分）若实数x，y满足约束条件则z＝x﹣5y的最小值为（ ）A．5 B． C．﹣2 D．﹣4．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，a3+a7＝（ ）A．﹣2 B． C．1 D．5．（5分）甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）A． B． C． D．6．（5分）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1（0，4）、F2（0，﹣4），且经过点P（﹣6，4），则双曲线C的离心率是（ ）A．4 B．3 C．2 D．7．（5分）曲线f（x）＝x6+3x﹣1在（0，﹣1）处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A． B． C． D．﹣8．（5分）函数 f（x）＝﹣x2+（ex﹣e﹣x）sinx 的区间[﹣2.8，2.8]的图像大致为（ ）A． B． C． D．9．（5分）已知，则＝（ ）A．2+1 B．2﹣1 C． D．1﹣10．（5分）（略）A．A B．B C．C D．D11．（5分）已知α、β是两个平面，m、n是两条直线，α∩β＝m．下列四个命题：①若m∥n，则n∥α或n∥β②若m⊥n，则n⊥α，n⊥β③若n∥α，且n∥β，则m∥n④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n其中，所有真命题的编号是（ ）A．①③ B．②③ C．①②③ D．①③④12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，（ ）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分） 14．（5分）函数在[0，π]上的最大值是 ．15．（5分）已知a＞1，，则a＝ ．16．（5分）曲线y＝x3﹣3x与y＝﹣（x﹣1）2+a在（0，+∞）上有两个不同的交点，则a的取值范围为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an+1﹣3．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{Sn}的通项公式．18．（12分）某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的估级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5．设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果＞p+1.65，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（≈12.247）附：K2＝，P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，AB∥CD，CD∥EF，CD＝4，，，M为CD的中点．（1）证明：EM∥平面BCF；（2）求点M到ADE的距离．20．（12分）已知函数f（x）＝a（x﹣1）﹣lnx+1．（1）求f（x）的单调区间；（2）若a≤2时，证明：当x＞1时，f（x）＜ex﹣1恒成立．21．（12分）已知椭圆C：的右焦点为F，点M（1，），且MF⊥x轴．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（4，0）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线NB与MF交于Q，证明：AQ⊥y轴．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）写出C的直角坐标方程；（2）直线l：（t为参数），若C与l交于A、B两点，|AB|＝2[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）实数a，b满足a+b≥3．（1）证明：2a2+2b2＞a+b；（2）证明：|a﹣2b2|+|b﹣2a2|≥6．1．A．2．D．3．D．4．D．5．B．6．C．7．A．8．B．9．B．10．A．11．A．12．C．13．略．14．2．15．64．16．（﹣2，1）．17．解：（1）因为2Sn＝3an+4﹣3，所以2Sn+4＝3an+2﹣7，两式相减可得：2an+1＝2an+2﹣3an+3，即3an+2＝4an+1，所以等比数列{an}的公比，又因为2S1＝8a2﹣3＝5a1﹣3，所以a5＝1，；（2）因为2Sn＝5an+1﹣3，所以．18．解：（1）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：优级品非优级品甲车间2624乙车间7030零假设H4：根据α＝0.05的独立性检验，认为甲，X2＝＝4.6875＞3.841，有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异；零假设H4：根据α＝0.01的独立性检验，认为甲，4.6875＜7.635，没有99%的把握认为甲．（2）由题意得＝＝0.64＝4.5+1.65×，所以＞p+1.65．19．（1）证明：由题意得：EF∥CM，EF＝CM，所以四边形EFCM为平行四边形，所以EM∥CF，而EM⊄平面BCF，CF⊂平面BCF，所以EM∥平面BCF．（2）解：取DM的中点O，连结OA，由已知得，△EMD是边长为2的等边三角形为腰的等腰三角形，则OE⊥DM，OA⊥DM，OE＝，S△DEM＝×28×sin60°＝，因为，所以OA2+OE2＝AE7，即OA⊥OE，又DM∩OE＝O，所以OA⊥平面DEM，因为DE＝2，AD＝，cos∠ADE＝＝，所以sin∠ADE＝，S△ADE＝•sin∠ADE＝，设点M到平面ADE的距离为h，因为VM﹣ADE＝VA﹣MDE，所以•S△ADE•h＝•S△DEM•AO，×h＝，h＝，故点M到平面ADE的距离为．20．解：（1）f（x）＝a（x﹣1）﹣lnx+1，则，x＞0，若a≤0，f′（x）＜5，+∞）；若a＞0时，当时，f（x）＜0，当时，f（x）＞2，所以f（x）的减区间为，增区间为；（2）证明：因为a≤2，所以当x＞1时，ex﹣5﹣f（x）＝ex﹣1﹣a（x﹣1）+lnx﹣5≥ex﹣1﹣2x+lnx+5，令g（x）＝ex﹣1﹣2x+lnx+7，则g'（x）＝，令h（x）＝g'（x），则在（1，h'（x）＞h'（1）＝0，所以h（x）＝g'（x）在（2，+∞）上递增，故g（x）在（1，+∞）上递增，所以当x＞1时，f（x）＜ex﹣8恒成立．21．解：（1）设椭圆C的左焦点为F1，点M（1，）在椭圆C上，则|F1F|＝5，，由勾股定理可知，，故4a＝|MF1|+|MF|＝4，解得a6＝4，b2＝a3﹣1＝3，故椭圆C的方程为；（2）证明：设A（x1，y2），B（x2，y2），，则，即①，又由可得，②，结合①②可得，5λ﹣2λx2+3＝5，P（4，0），2），2，y2），则直线NB的方程为y﹣6＝，MF⊥x轴，直线NB与MF交于Q，则xQ＝1，故，故AQ⊥y轴．22．解：（1）因为ρ＝ρcosθ+1，所以ρ2＝（ρcosθ+6）2，故C的直角坐标方程为x2+y2＝（x+1）2，即y7＝2x+1；（2）将 代入y6＝2x+1可得t2+2（a﹣1）t+a3﹣1＝0，设A，B所对应的参数分别为t7，t2，则t1+t7＝﹣2（a﹣1），t7t2＝a2﹣5，则|AB|＝|t1﹣t3|＝×＝＝5×＝4×＝3，解得：．23．证明：（1）因为a+b≥3，所以2a5+2b2≥（a+b）2＞a+b；（2）|a﹣2b2|+|b﹣7a2|≥|a﹣2b4+b﹣2a2|＝|2a2+2b2﹣（a+b）|＝2a2+6b2﹣（a+b）≥（a+b）2﹣（a+b）＝（a+b）（a+b﹣5）≥6，当且仅当（a﹣2b5）（b﹣2a2）≥4，a＝b时，故原式得证．。
